Великая теорема Ферма

Великой теоремой Ферма называют следующую теорему:

Не существует таких натуральных чисел $x$, $y$, $z$, $n>2$, что

\[x^n + y^n = z^n.\]

Отсюда следует, что её можно переформулировать иначе:

  1. Не существует таких целых чисел $x$, $y$, $z \ne 0$ и натурального $n>2$, что

    \[x^n + y^n = z^n.\]

    или для простых $n > 2$

    \[x^n + y^n + z^n = 0.\]

  2. Не существует таких рациональных чисел $p$, $q \ne 0$ и натурального $n > 2$, что:

    \[p^n + q^n = 1.\]

Простейшие соотношения

  1. Можно рассматривать только взаимно простые $x$, $y$, $z$. Действительно, если $x = \alpha X$, $y = \alpha Y$, то $z = \alpha Z$ и $\alpha$ можно сократить.

  2. Можно рассматривать только простые $n$ и $n = 4$. Действительно пусть $n = \alpha k$, где $k$ - простое не равное 2:

    \[x^{\alpha k} + y^{\alpha k} = z^{\alpha k}\] \[(x^\alpha)^k + (y^\alpha)^k = (z^\alpha)^k\]

    и всегда можно ограничится простыми $n$ и $n = 4$.

  3. Среди трёх взаимно простых чисел $x$, $y$, $z$ два нечётных и одно чётное.

  4. Отдельно следует отметить случай $n = 2$. Его особенность в том, что он имеет решение. Простейший вариант такого решения:

    \[x = A^2 - B^2,\qquad y = 2 A B,\qquad z = \pm (A^2 + B^2),\]

    где $A$, $B$ - произвольные целые числа. Легко проверить, что данное решение удовлетворяет условию:

    \[x^2 + y^2 = A^4 - 2 A^2 B^2 + B^4 + 4 A^2 B^2 = z^2.\]

    Сложнее показать, что данным решением исчерпываются всевозможные взаимно простые тройки чисел, в которых $y$ - обязательно чётное число, $x$, $z$ - нечётные. Пусть $x = A’ B’$. Тогда:

    \[x^2 = A'^2 B'^2 = (z - y) (z + y)\]

    Отсюда следует два варианта (другие шесть вариантов будут сводится к этим двум вариантам заменой $y \to -y$ или $z \to -z$):

    1. Первый вариант

      \[z + y = A'^2, \qquad z - y = B'^2.\]

      В данном случае

      \[z = \frac{A'^2 + B'^2}{2}, \qquad y = \frac{A'^2 - B'^2}{2},\]

      и оба числа $A’$, $B’$ должны быть нечётными, чтобы числа $z$, $x$ были целыми (если $A’$, $B’$ будут чётными, то они не будут взаимно простыми). Если вместо чисел $A’$, $B’$ ввести числа:

      \[A' = A + B, \qquad B' = A - B,\] \[A = \frac{A' + B'}{2}, \qquad B = \frac{A' - B'}{2},\]

      то мы получим вариант решения представленный выше.

    2. Второй вариант

      \[z + y = A'^2 B', \qquad z - y = B'.\]

      В данном случае

      \[z = \frac{A'^2 + 1}{2} B', \qquad y = \frac{A'^2 - 1}{2} B'\]

      Из взаимной простоты также следуют два варианта. Первый $B’ = 1$, приводит к тому, что $z - y = B’ = 1$ и всё сводится к предыдущему варианту. Второй случай $B’ = 2$ сводится к выписанному выше решению с $B = 1$ $A = A’$ с заменой $x$ на $y$, но не удовлетворяет требованию чётности $y$.

    Отсюда следует, что этим все решения исчерпываются.