Потенциалы Лиенара-Вихерта

Наша задача найти потенциалы электромагнитного поля произвольно движущейся заряженной частицы. Они представляют собой решение системы уравнений:

\[\begin{aligned} & \Delta \varphi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = - \frac{q}{\varepsilon_0} \delta(\vec{r} - \vec{\xi}(t)) \\ & \Delta \vec{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = - \mu_0 q \vec{v}(t) \delta(\vec{r} - \vec{\xi}(t)) \\ \end{aligned}\]

Решение данных уравнений в неограниченном пространстве дают запаздывающие потенциалы:

\[\begin{aligned} & \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}', t - |\vec{r} - \vec{r}'|/c)}{|\vec{r} - \vec{r}'|} dV' \\ & \vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{j}(\vec{r}', t - |\vec{r} - \vec{r}'|/c)}{|\vec{r} - \vec{r}'|} dV' \\ \end{aligned}\]

Первый способ. Ограничимся случаем первого уравнения и найдём его решение с помощью запаздывающего потенциала:

\[\varphi(\vec{r}, t) = \frac{q}{\varepsilon_0} \int \frac{\delta(\vec{r}' - \vec{\xi}(t - |\vec{r} - \vec{r}'|/c))}{|\vec{r} - \vec{r}'|} dV' = (1)\]

Перейдём в интеграле к новому времени интегрирования $t’$:

\[(1) = \frac{q}{\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \int \frac{\delta(\vec{r}' - \vec{\xi}(t'))}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \delta(t' - t + |\vec{r} - \vec{r}'|/c) dV' dt'\]

Выполняем интегрирование по объёму:

\[(1) = \frac{q}{\varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{|\vec{r} - \vec{\xi}(t')|} \delta(t' - t + |\vec{r} - \vec{\xi}(t')|/c) dt'\]

Введём следующие обозначения:

\[\vec{R} = \vec{r} - \vec{\xi}(t'), \qquad R = |\vec{R}|, \qquad \vec{n} = \vec{R}/R, \qquad \vec{v} = \dot{\vec{\xi}}\]

И воспользуемся следующим соотношением:

\[\delta(f(t')) = \sum\limits_{t'_i} \frac{\delta(t' - t'_i)}{|f'(t'_i)|)}\]

Здесь $t’_i$ - корни $f(t’)$. В нашем случае $f(t’) = t’ - t + R(t’)/c$. Покажем, что корень у данной функции, если он существует, - один. Действительно пусть существуют два корня. Тогда между корнями функции лежит корень производной:

\[f'(t') = 1 - \vec{n}\cdot\vec{v}/c= 0\]

Но это означает, что скорость $v > c$, что невозможно. Как доказать существование корня? Вопрос интересный. Отмечу только, что функция всюду возрастающая и корень действительно существует.

С учётом всего изложенного нетрудно получить:

\[\begin{aligned} & \varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c}} \Big|_{t': c(t - t') = R} \\ & \vec{A} = \frac{\mu_0 q}{4\pi} \frac{\vec{v}}{R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c}} \Big|_{t': c(t - t') = R} \\ \end{aligned}\]

Второй способ. Он использован, например, в книгах по теорфизике Ландау. Отметим, что потенциалы должны удовлетворять уравнению Пуассона в мгновенной системе отсчёта, но только в пределах одной единственной сферы для которой частица выглядит неподвижной и до которой дошло излучение со скоростью $c$. То есть:

\[\varphi'' = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{R''}, \qquad \vec{A}'' = 0\]

Сфера определяется соотношением:

\[R'' = c(t'' - t''_0)\]

Учитываем преобразования Лоренца:

\[t'' = \frac{t - \dfrac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad t''_0 = \frac{t' - \dfrac{\vec{\xi}'\cdot\vec{v}}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\]

Откуда:

\[R'' = \frac{c(t - t') - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = [\text{в силу инвариантности интервала } R = c(t - t')] = \frac{R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\]

Далее вспоминаем преобразование для потенциалов:

\[\varphi = \frac{\varphi'' + \vec{A}\cdot\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad \vec{A} = \vec{A}'' - \frac{\vec{A}''\cdot\vec{v}}{v^2} \vec{v} + \frac{\dfrac{\vec{A}''\cdot\vec{v}}{v^2} \vec{v} + \dfrac{\varphi'' \vec{v}}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \qquad\]

И получаем формулы выше.

Электромагнитное поле

Получим некоторые соотношения:

\[\nabla R = \frac{\partial |\vec{r} - \vec{\xi}[t'(t, \vec{r})]|}{\partial x_i} \vec{e}_i = \frac{2(x_j - \xi_j(t'))(\delta_{ji} - v_j \dfrac{\partial t'}{\partial x_i})}{2 R} = \vec{n} - \vec{n}\cdot\vec{v} \nabla t'\]

Отсюда

\[\nabla t' = - \frac{\nabla R}{c} = \frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \nabla t' - \frac{\vec{n}}{c}\]

Далее

\[\nabla t' = - \frac{1}{c}\frac{\vec{n}}{1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} }\] \[\nabla R = \frac{\vec{n}}{1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} }\]

Теперь получим соотношение для производных по времени:

\[\frac{\partial t'}{\partial t} = 1 - \frac{1}{c}\frac{\partial R}{\partial t} = 1 + \frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \frac{\partial t'}{\partial t}\]

Отсюда

\[\frac{\partial t'}{\partial t} = \frac{1}{1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} }\] \[\frac{\partial R}{\partial t} = - \frac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} }\]

Теперь получим ещё два полезных соотношения:

\[\nabla \frac{1}{R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c} } = - \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^2} \nabla \left(R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c} \right) =\] \[= - \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left(\vec{n} - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)\dfrac{\vec{v}}{c} - \frac{v^2}{c^2} \vec{n} + \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{n}\right)\] \[\frac{\partial}{\partial t} \frac{1}{R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c} } = - \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^2} \frac{\partial}{\partial t} \left(R - \dfrac{\vec{R}\cdot\vec{v}}{c} \right) =\] \[= - \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left(- \vec{n}\cdot\vec{v} + \frac{v^2}{c} - \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c}\right) =\]

Дальнейшее легко:

\[\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left( - \frac{\vec{v}(\vec{n}\cdot\vec{v})}{c^2} + \vec{v}\frac{v^2}{c^3} - \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^3} \vec{v} \right. -\] \[- \left. \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right) \frac{R}{c^2}\vec{a} + \vec{n} - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)\dfrac{\vec{v}}{c} - \frac{v^2}{c^2} \vec{n} + \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{n} \right) =\] \[= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left( \left(1 - \frac{v^2}{c^2} + \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2}\right) \left(\vec{n} - \frac{\vec{v}}{c}\right) - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right) \frac{R}{c^2}\vec{a} \right)\] \[\vec{B} = \mathrm{rot\,} \frac{\varphi \vec{v}}{c^2} = \nabla\varphi \times \frac{\vec{v}}{c^2} + \frac{\varphi}{c^2} \nabla t' \times \vec{a} =\] \[= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c^2} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left[ - \left( \vec{n} - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)\dfrac{\vec{v}}{c} - \frac{v^2}{c^2} \vec{n} + \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{n} \right) \times \vec{v} - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right) \frac{R}{c} \vec{n} \times \vec{a} \right] =\] \[= -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c^2} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \vec{n}\times\left[ \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} + \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2} \right) \vec{v} + \vec{a}\left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right) \frac{R}{c} \right] = \frac{\vec{n}\times\vec{E}}{c}\]

Замечания относительно потенциалов

Проверка калибровки Лоренца

Проверим, что для потенциалов справедлива калибровка Лоренца, то есть:

\[\frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathrm{div\,} \vec{A} = 0\] \[\frac{\partial \varphi}{\partial t} = - \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left(- \vec{n}\cdot\vec{v} + \frac{v^2}{c} - \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c}\right)\] \[\mathrm{div\,} \vec{A} = \frac{\vec{v}\cdot\nabla\varphi + \varphi \vec{a} \cdot \nabla t'}{c^2} =\] \[= \frac{1}{c^2} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ - \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left(\vec{n} - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)\dfrac{\vec{v}}{c} - \frac{v^2}{c^2} \vec{n} + \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{n}\right) \cdot \vec{v} - \frac{1}{c}\frac{\vec{n}\cdot\vec{a}}{R \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^2 } \right] =\] \[= \frac{1}{c^2} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left[ - \vec{n}\cdot \vec{v} + \dfrac{v^2}{c} - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \dfrac{v^2}{c} + \frac{v^2}{c^2} \vec{n}\cdot \vec{v} - \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c^2} \vec{n}\cdot\vec{v} - \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)\frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c} \right] =\] \[= \frac{1}{c^2} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{1}{R^2 \left(1 - \dfrac{\vec{n}\cdot\vec{v}}{c} \right)^3} \left[ - \vec{n}\cdot \vec{v} + \dfrac{v^2}{c} - \frac{\vec{R}\cdot\vec{a}}{c} \right]\]

Таким образом калибровка Лоренца выполняется.

Вектор Герца

Можно ли представить потенциалы через вектор Герца? Исследуем этот вопрос.

\[\vec{A} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{\Pi}}{\partial t}, \qquad \varphi = - \mathrm{div\,} \vec{\Pi}\]