Требуется найти сопротивление участка цепи 1-2 $R_0$ в схемах с тетраэдром (Рисунок 1, 2).

Рисунок 1 Рисунок 2

Первая задача (Рисунок 1) решается просто. Из симметрии сразу следует, что потенциалы точек 3 и 4 совпадают. Это приводит к тому, что по участку 3-4 ток не течёт. Две эквивалентные схемы представлены на рисунках 3 и 4.

Рисунок 3 Рисунок 4

В случае рисунка 3:

\[R_{0} = \dfrac{R \dfrac{4 R^2}{2R + 2R}}{R + \dfrac{4 R^2}{2R + 2R}} = \dfrac{R}{2}\]

В случае рисунка 4:

\[R_{0} = \dfrac{R \left(\dfrac{R}{2} + \dfrac{R}{2}\right)}{R + \dfrac{R}{2} + \dfrac{R}{2}} = \dfrac{R}{2}\]

Вторая задача допускает множество способов решения. Часть из них - стандартные. Но есть и не очень обычный путь. Начнём со стандартного пути. Эквивалентная схема рисунка 2 представлена на рисунке 5.


Рисунок 5

По правилам Кирхгофа:

\[\begin{aligned} & i_{13} R_1 + i_{34} R_4 - i_{14} R_2 = 0, \\ & - i_{23} R_2 + i_{24} R_1 - i_{34} R_4 = 0, \\ & i_{14} R_2 - i_{24} R_1 - i_{12} R_3 = 0, \\ & i_{34} - i_{23} - i_{13} = 0, \\ & i_{14} + i_{34} + i_{24} = 0, \\ & i_{13} + i_{14} + i_{12} = I \end{aligned}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ -R_3 & 0 & R_2 & 0 & -R_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - R_2 & R_1 & - R_4 \\ 0 & R_1 & -R_2 & 0 & 0 & R_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{12} \\ i_{13} \\ i_{14} \\ i_{23} \\ i_{24} \\ i_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & I \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\ -R_3 & 0 & R_2 & 0 & -R_1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - R_2 & R_1 & - R_4 & | & 0 \\ 0 & R_1 & -R_2 & 0 & 0 & R_4 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \sim\] \[\sim\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & I \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & R_3 & R_2 + R_3 & 0 & -R_1 & 0 & | & R_3 I \\ 0 & 0 & 0 & - R_2 & R_1 & - R_4 & | & 0 \\ 0 & R_1 & -R_2 & 0 & 0 & R_4 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \sim\] \[\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & I \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & R_3 & R_2 + R_3 & 0 & -R_1 & 0 & | & R_3 I \\ 0 & 0 & 0 & - R_2 & R_1 & - R_4 & | & 0 \\ 0 & R_1 & -R_2 & 0 & 0 & R_4 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \sim\] \[\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & I \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & R_2 + R_3 & -R_3 & -R_1 & R_3 & | & R_3 I \\ 0 & 0 & 0 & - R_2 & R_1 & - R_4 & | & 0 \\ 0 & 0 & -R_2 & -R_1 & 0 & R_4 + R_1 & | & 0 \\ \end{pmatrix} \sim\] \[\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & I\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & | & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0\\ 0 & 0 & 0 & -R_3 & -R_1- R_2 - R_3 & -R_2 & | & R_3 I\\ 0 & 0 & 0 & - R_2 & R_1 & - R_4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -R_1 & R_2 & R_4 + R_1 + R_2 & | & 0 \end{pmatrix}\sim\]

Нам не требуются все токи, достаточно знать только пару. Детерминант матрицы:

\[\begin{gathered} - (R_4 + R_1 + R_2) R_1 R_3 - (R_1 + R_2 + R_3) R_4 R_1 + R_2^3 - \\- R_2 R_1^2 + R_2 R_3 R_4 - R_2 (R_1 + R_2 + R_3)(R_1 + R_2 + R_4) = \\ = - (R_4 + R_1 + R_2) R_1 R_3 - (R_1 + R_2 + R_3) R_4 R_1 + \underline{R_2^3} - R_2 R_1^2 - R_2 R_3 R_4 - \\- R_2 (R_1^2 + \underline{R_2^2} + 2 R_1 R_2 + R_3 R_1 + R_3 R_2 + R_4 R_1 + R_4 R_2 + R_3 R_4) = \\ = - 2 R_1 R_3 R_4 - 2 R_2 R_3 R_4 - \underline{R_1^2 R_3 - 2 R_1 R_2 R_3 - R_1^2 R_4 - 2 R_1 R_2 R_4 }- 2 R_2 R_1^2 - \\ - 2 R_1 R_2^2 - \underline{R_2^2 R_3 - R_2^2 R_4} = \\ = -2 (R_1 + R_2) R_3 R_4 - (R_1 + R_2)^2 (R_3 + R_4) - 2 R_1 R_2 (R_1 + R_2) = \\ = - (R_1 + R_2) (2 R_3 R_4 + 2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_3 + R_2 R_4) \end{gathered}\]

По формулам Крамера:

\[i_{23} = \dfrac{R_3 I (R_1 R_4 + R_1 (R_1 +R _2) + R_2 R_4)}{- (R_1 + R_2) (2 R_3 R_4 + 2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_3 + R_2 R_4)} =\] \[= -\dfrac{R_3 I (R_1 + R_4)}{2 R_3 R_4 + 2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_3 + R_2 R_4}\] \[i_{24} = \dfrac{- R_3 I (-R_2(R_1 + R_2 + R_4) - R_1 R_4)}{- (R_1 + R_2) (2 R_3 R_4 + 2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_3 + R_2 R_4)} =\] \[= - \dfrac{R_3 I (R_1 + R_4)}{2 R_3 R_4 + 2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_3 + R_2 R_4}\] \[i_{34} = \dfrac{I (-R_1 + R_2) R_3 }{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }\]

Если воспользоваться теперь выражениями для токов, то можно получить все токи:

\[\begin{aligned} & i_{12} = \dfrac{I (2 R_1 R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_4)}{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }, \\ & i_{13} = \dfrac{I R_3 (R_2 + R_4) }{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }, \\ & i_{14} = \dfrac{I R_3 (R_1 + R_4) }{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }, \\ & i_{23} = -\dfrac{I R_3 (R_1 + R_4) }{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }, \\ & i_{24} = -\dfrac{I R_3 (R_2 + R_4) }{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }, \\ & i_{34} = \dfrac{I (-R_1 + R_2) R_3 }{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 } \end{aligned}\]

Для полного сопротивления имеем:

\[R_{0} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{i_{12} R_3}{I} = \dfrac{R_3 (2 R_1 R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_4)}{2 R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_4 + R_2 R_4 + 2 R_3 R_4 }\]

Как легко видеть данный путь приводит к весьма громоздким вычислениям. Существует другой путь - более аккуратный, но и менее общий. Поступим так, как поступали выше. Построим две схемы - одну замкнутую накоротко, а другую - с разрывом вместо резистора на участке 3-4. Так как система линейна, то суперпозиция всех потенциалов и токов для двух данных схем даст нужное решение при условии, что разность потенциалов между точками 3-4 и ток на данном участке цепи будут связаны нужным соотношением.

Рисунок 6 Рисунок 7

В случае рисунка 6:

\[U_s = \dfrac{R_3 \dfrac{R_2 + R_1}{2}}{R_3 + \dfrac{R_2 + R_1}{2}} I_s = \dfrac{R_3 (R_1 + R_2)}{2 R_3 + R_1 +R_2} I_s\]

В случае рисунка 7:

\[U_c = \dfrac{R_3 \cdot 2 \cdot \dfrac{R_1 R_2}{R_1 +R_2}}{R_3 + 2 \cdot \dfrac{R_1 R_2}{R_1 +R_2}} I_c = \dfrac{2 R_1 R_2 R_3}{R_1 R_3 + R_2 R_3 + 2 R_1 R_2} I_c\]

Результат:

\[U = U_c + U_s, \qquad I = I_c + I_s\]

Условие:

\[\varphi_3 - \varphi_4 = i_{31} R_1 - i_{41} R_2 = - \dfrac{U_s}{R_1 + R_2} (R_1 - R_2)\] \[i_{34} = I_{c1} - I_{c2} = \dfrac{U_c}{2 R_1} - \dfrac{U_c}{2 R_2} = \dfrac{U_c}{2} \dfrac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}\] \[\varphi_3 - \varphi_4 = i_{34} R_4\]

Откуда:

\[U_s = U_c \dfrac{R_1 + R_2}{2 R_1 R_2} R_4\] \[R_{0} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{U_c}{I_c} \dfrac{1 + \dfrac{R_1 + R_2}{2 R_1 R_2} R_4}{1 + \dfrac{I_s}{U_s} \dfrac{U_c}{I_c} \dfrac{U_s}{U_c}} =\] \[= \dfrac{2 R_1 R_2 R_3}{R_1 R_3 + R_2 R_3 + 2 R_1 R_2} \dfrac{\dfrac{2 R_1 R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_4}{2 R_1 R_2}}{1 + \dfrac{2 R_1 R_2 R_3}{R_1 R_3 + R_2 R_3 + 2 R_1 R_2}\dfrac{2 R_3 + R_1 +R_2}{R_3 (R_1 + R_2)} \dfrac{R_1 + R_2}{2 R_1 R_2} R_4} =\] \[= \dfrac{R_3}{R_1 R_3 + R_2 R_3 + 2 R_1 R_2} \dfrac{\dfrac{2 R_1 R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_4}{1}}{1 + \dfrac{1}{R_1 R_3 + R_2 R_3 + 2 R_1 R_2}\dfrac{2 R_3 + R_1 +R_2}{1} \dfrac{1}{1} R_4} =\] \[= \dfrac{(2 R_1 R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_4) R_3}{R_1 R_3 + R_2 R_3 + 2 R_1 R_2 + 2 R_3 R_4 + R_1 R_4 + R_2 R_4}\]

Убеждаемся в полном совпадении результатов.

А теперь попробуем решить задачу с любыми сопротивлениями.

Рисунок 8 Рисунок 9

В случае рисунка 8:

\[U_s = \dfrac{R_{12} \dfrac{(R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})}{R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24}}}{R_{12} + \dfrac{(R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})}{R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24}}} I_s\]

В случае рисунка 9:

\[U_c = \dfrac{R_{12} \cdot \left(\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}\right)}{R_{12} + \dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} I_c\]

Результат:

\[U = U_c + U_s, \qquad I = I_c + I_s\]

Условие:

\[\varphi_3 - \varphi_4 = i_{31} R_{13} - i_{41} R_{14} = - \dfrac{U_s}{R_{13} + R_{23}} R_{13} + \dfrac{U_s}{R_{14} + R_{24}} R_{14} =\] \[= U_s \left(\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} \right)\] \[i_{34} = I_{c1} - I_{c2} = \dfrac{U_c}{\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} \left(\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}\right)\] \[\varphi_3 - \varphi_4 = i_{34} R_{34}\]

Откуда:

\[U_s = \dfrac{U_c}{\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} \dfrac{\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}{\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} } R_{34}\] \[R_{0} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{U_c}{I_c} \dfrac{1 + \dfrac{R_{34}}{\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} \dfrac{\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}{\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} } }{1 + \dfrac{I_s}{U_s} \dfrac{U_c}{I_c} \dfrac{U_s}{U_c}} =\] \[= \dfrac{R_{12} \cdot \left(\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}\right)}{R_{12} + \dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} \cdot\] \[\cdot \dfrac{1 + \dfrac{R_{34}}{\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} \dfrac{\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}{\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} } }{1 + \dfrac{R_{12} + \dfrac{(R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})}{R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24}}} {R_{12} \dfrac{(R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})}{R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24}}}\dfrac{R_{34}}{\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}} \dfrac{\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}{\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} } \dfrac{R_{12} \cdot \left(\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}\right)}{R_{12} + \dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}} =\] \[= R_{12} \dfrac{ \dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}} + \dfrac{R_{34}}{1} \dfrac{\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}{\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} } } { R_{12} + \dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}} + \left(\dfrac{R_{12}(R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24})} {(R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})} + 1\right) \dfrac{R_{34}}{1} \dfrac{\dfrac{R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{24}}{R_{23} + R_{24}}}{\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}} } } =\] \[= R_{12} \dfrac{ \left(\dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}}\right) \left(\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}}\right) + \left( \dfrac{R_{34} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{34} R_{24}}{R_{23} + R_{24}} \right) } { \left(R_{12} + \dfrac{R_{13} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} + \dfrac{R_{23} R_{24}}{R_{23} + R_{24}} \right) \left(\dfrac{R_{14}}{R_{14} + R_{24}} - \dfrac{R_{13}}{R_{13} + R_{23}}\right) + \left(\dfrac{R_{12}(R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24})} {(R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})} + 1\right) \left( \dfrac{R_{34} R_{14}}{R_{13} + R_{14}} - \dfrac{R_{34} R_{24}}{R_{23} + R_{24}} \right) }\]

Умножаем и числитель и знаменатель на $(R_{13} + R_{14})(R_{23}+R_{24})(R_{14}+R_{24})(R_{13}+R_{23})$. Числитель:

\[\begin{gathered} \left((R_{23}+R_{24})R_{13} R_{14} + (R_{13} + R_{14})R_{23} R_{24}\right) \left((R_{13}+R_{23})R_{14}- (R_{14}+R_{24})R_{13}\right) + \\ + (R_{14}+R_{24})(R_{13}+R_{23})\left( (R_{23}+R_{24})R_{34} R_{14}- (R_{13} + R_{14})R_{34} R_{24} \right) = \\ = \left(R_{23}R_{13} R_{14}+R_{24}R_{13} R_{14} + R_{13} R_{23} R_{24}+ R_{14}R_{23} R_{24}\right) \left(R_{23}R_{14}- R_{24} R_{13}\right) + \\ + (R_{14}+R_{24})(R_{13}+R_{23})R_{34} \left( R_{23}R_{14}- R_{13}R_{24} \right) = \\ = \left[R_{23}R_{13} R_{14}+R_{24}R_{13} R_{14} + R_{13} R_{23} R_{24}+ R_{14}R_{23} R_{24} + \right. \\ + \left. R_{14} R_{13} R_{34} + R_{14} R_{23} R_{34} + R_{24} R_{13} R_{34} + R_{24} R_{23} R_{34}\right] \left(R_{23}R_{14}- R_{24} R_{13}\right) \end{gathered}\]

Знаменанатель:

\[\begin{gathered} \left(R_{12}(R_{13} + R_{14})(R_{23}+R_{24}) + R_{13} R_{14}(R_{23}+R_{24}) + R_{23} R_{24}(R_{13} + R_{14}) \right) \left(R_{23}R_{14} - R_{24}R_{13}\right) + \\ + \left(R_{12}(R_{13} + R_{23} + R_{14} + R_{24}) + (R_{13} + R_{23})(R_{14} + R_{24})\right) R_{34} \left( R_{23}R_{14}- R_{13}R_{24}\right) = \\ = \left[ R_{12} R_{13} R_{23} + R_{12} R_{13} R_{24} + R_{12} R_{14} R_{23} + R_{12} R_{14} R_{24} + \right. \\ \left. + R_{13} R_{14} R_{23} + R_{13} R_{14} R_{24} + R_{13} R_{23} R_{24} + R_{14} R_{23} R_{24} + \right. \\ \left. + R_{12} R_{13} R_{34} + R_{12} R_{23} R_{34} + R_{12} R_{14} R_{34} + R_{12} R_{24} R_{34} \right. \\ \left. + R_{13} R_{14} R_{34} + R_{13} R_{24} R_{34} + R_{14} R_{23} R_{34} + R_{23} R_{24} R_{34} \right] \left(R_{23}R_{14} - R_{24}R_{13}\right) \end{gathered}\]

Ответ:

\[R_0 = R_{12} \dfrac{ R_{13} R_{14} R_{23} + R_{13} R_{14} R_{24} + R_{13} R_{14} R_{34} + R_{13} R_{23} R_{24} + R_{13} R_{24} R_{34} + R_{14} R_{23} R_{24} + R_{14} R_{23} R_{34} + R_{23} R_{24} R_{34} }{ R_{12} R_{13} R_{23} + R_{12} R_{13} R_{24} + R_{12} R_{13} R_{34} + R_{12} R_{14} R_{23} + R_{12} R_{14} R_{24} + R_{12} R_{14} R_{34} + R_{12} R_{23} R_{34} + R_{12} R_{24} R_{34} + R_{13} R_{14} R_{23} + R_{13} R_{14} R_{24} + R_{13} R_{14} R_{34} + R_{13} R_{23} R_{24} + R_{13} R_{24} R_{34} + R_{14} R_{23} R_{24} + R_{14} R_{23} R_{34} + R_{23} R_{24} R_{34} }\]