Задача 1. Два направления $\vec{n}$ и $\vec{n}’$ определяются в сферической системе координат углами $\theta$, $\alpha$ и $\theta’$, $\alpha’$. Найти косинус угла $\beta$ между ними.

Решение. Вектора $\vec{n}$ и $\vec{n}’$ задаются в декартовой системе координат через сферические следующим образом:

\[\begin{aligned} & \vec{n} = \{\sin \theta \cos \alpha, \sin \theta \sin \alpha, \cos \theta\}, \\ & \vec{n}' = \{\sin \theta' \cos \alpha', \sin \theta' \sin \alpha', \cos \theta'\}. \end{aligned}\]

Поэтому:

\[\cos \beta = \vec{n}\cdot\vec{n}' = \sin \theta \sin \theta' (\cos \alpha \cos \alpha' + \sin \alpha \sin \alpha') + \cos \theta \cos \theta' =\] \[= \cos \theta \cos \theta' + \sin \theta \sin \theta' \cos (\alpha - \alpha')\]

Одно интересное следствие этой задачи - если заданы два угла тетраэдра $\alpha$, $\beta$ при одной вершине и угол между гранями $\delta$, содержащими эти углы, то по представленной формуле можно найти третий угол при вершине $\gamma$:

\[\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos \delta.\]