Задача 10. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора $a_x, a_y, a_z$ рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами $a_\pm = \mp (a_x \pm i a_y) / \sqrt{2}$, $a_0 = a_z$. Выразить скалярное и векторное произведения векторов через циклические компоненты. Выразить также циклические компоненты радиуса-вектора через шаровые функции Лежандра $r^{-l - 1} Y_{lm}(\theta, \alpha)$, $r^l Y_{lm}(\theta, \alpha)$

Решение. Начнём с того, что выразим $a_x$, $a_y$ через $a_\pm$:

\[\begin{aligned} & a_+ = -\frac{1}{\sqrt{2}} (a_x + i a_y) \\ & a_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (a_x - i a_y) \end{aligned}\]

Отсюда:

\[\begin{aligned} & a_y = \frac{i}{\sqrt{2}} ( a_- + a_+) \\ & a_x = \frac{1}{\sqrt{2}} ( a_- - a_+) \end{aligned}\]

Скалярное произведение:

\[a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = \frac{1}{2} ( a_- - a_+) ( b_- - b_+) - \frac{1}{2} ( a_- + a_+) ( b_- + b_+) + a_0 b_0 =\] \[= - a_- b_+ - a_+ b_- + a_0 b_0\]

Векторное произведение:

\[c_z = a_x b_y - b_x a_y = \frac{i}{2} [(a_- - a_+) (b_- + b_+) - (a_- + a_+) (b_- - b_+)] =\] \[= i (a_- b_+ - a_+ b_-)\] \[\begin{aligned} & c_x = a_y b_z - b_y a_z \\ & c_y = a_z b_x - b_z a_x \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & c_+ = - \frac{1}{\sqrt{2}} (a_y b_z - b_y a_z + i a_z b_x - i b_z a_x) = - i (b_0 a_+ - a_0 b_+) \\ & c_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (a_y b_z - b_y a_z - i a_z b_x + i b_z a_x) = i( b_0 a_- - a_0 b_-) \end{aligned}\]

В сферических координатах:

\[\begin{aligned} & x = r \sin \theta \cos \alpha \\ & y = r \sin \theta \sin \alpha \\ & z = r \cos \theta \end{aligned}\] \[Y_{1, 0} = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \cos \theta\] \[Y_{1,\pm 1} = \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin \theta e^{\pm i \alpha}\] \[\begin{aligned} & r_+ = -\frac{1}{\sqrt{2}} (x + i y) = - \frac{1}{\sqrt{2}} r e^{i\alpha} \sin \theta = \sqrt{\frac{4\pi}{3}} r Y_{1,1} (\theta, \alpha)\\ & r_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (x - i y) = - \frac{1}{\sqrt{2}} r e^{-i\alpha} \sin \theta = \sqrt{\frac{4\pi}{3}} r Y_{1,-1} (\theta, \alpha) \\ & r_0 = \sqrt{\frac{4\pi}{3}} r Y_{1,0} (\theta, \alpha) \end{aligned}\]