Задача 11. Найти компоненты тензора $\varepsilon_{ik}^{-1}$, обратного тензору $\varepsilon_{ik}$. Рассмотреть в частности случай, когда $\varepsilon_{ik}$ является симметричным тензором, заданным в главных осях.

Решение. Компоненты тензора $\varepsilon_{ik}^{-1}$ представляют собой обратную матрицу для $\varepsilon_{ik}$:

\[\begin{pmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \end{pmatrix}\]

Обратная матрица представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений, отнесённую к определителю:

\[\varepsilon_{ik}^{-1} = \Delta_{ki}/\Delta\]

Выпишем её покомпонентно:

\[\varepsilon_{ik}^{-1} = \frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \varepsilon_{yy} \varepsilon_{zz} - \varepsilon_{yz}\varepsilon_{zy} & \varepsilon_{xz} \varepsilon_{zy} - \varepsilon_{xy}\varepsilon_{zz} & \varepsilon_{xy} \varepsilon_{yz} - \varepsilon_{xz}\varepsilon_{yy} \\ \varepsilon_{yz} \varepsilon_{zx} - \varepsilon_{yx}\varepsilon_{zz} & \varepsilon_{xx} \varepsilon_{zz} - \varepsilon_{xz}\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{xz} \varepsilon_{yx} - \varepsilon_{xx}\varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{yx} \varepsilon_{zy} - \varepsilon_{yy}\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{xy} \varepsilon_{zx} - \varepsilon_{xx}\varepsilon_{zy} & \varepsilon_{xx} \varepsilon_{yy} - \varepsilon_{xy}\varepsilon_{yx} \\ \end{pmatrix}\]

Обратная матрица для тензора в главных осях $\varepsilon_{ik} = \varepsilon^{(i)}\delta_{ik}$ (по индексу в скобках суммирования нет!):

\[\varepsilon_{ik}^{-1} = \frac{1}{\varepsilon^{(i)}} \delta_{ik}\]