Задача 12. Пусть во всех координатных системах компоненты вектора $\vec{a}$ линейно выражаются через компоненты вектора $\vec{b}$: $a_i = \varepsilon_{ik} b_k$. Доказать, что совокупность величин $\varepsilon_{ik}$ является тензором второго ранга. (Точнее $\varepsilon_{ik}$ является тензором, если $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - оба полярные векторы или псевдовекторы, и псевдотензором, если один из векторов - полярный, а другой - аксиальный.)

Решение. Рассмотрим преобразование компонент векторов $\vec{a}$:

\[a_i' = \alpha_{is} a_s = \alpha_{is} \varepsilon_{sp} b_p = \varepsilon_{ik}' b_k' = \varepsilon_{ik}' \alpha_{kp} b_p\]

Если $b_p$ - произвольный вектор, то:

\[\varepsilon_{ik}' \alpha_{kp} = \alpha_{is} \varepsilon_{sp}\]

Умножаем слева и справа на $\alpha_{jp}$ и суммируем:

\[\varepsilon_{ik}' \alpha_{kp} \alpha_{jp} = \alpha_{jp} \alpha_{is} \varepsilon_{sp}\]

Осталось учесть свойство ортогональных матриц $\hat{\alpha}^T = \hat{\alpha}^{-1}$:

\[\hat{\alpha}^T \hat{\alpha} = \hat{\alpha}^{-1} \hat{\alpha} = \hat{\alpha} \hat{\alpha}^{-1} = \hat{\alpha} \hat{\alpha}^{T} = \hat{E}\]

Здесь $\hat{E}$ - единичная матрица. Из последнего следует:

\[\alpha_{ij} \alpha^{-1}_{jk} = \alpha_{ij} \alpha^{T}_{jk} = \alpha_{ij} \alpha_{kj} = \delta_{ki}\]

Откуда вытекает закон преобразования:

\[\varepsilon_{ik}' = \alpha_{kp} \alpha_{is} \varepsilon_{sp}\]

То есть закон преобразования тензоров. Вспоминая, про то, как меняются тензоры и псевдотензоры 1 и 2 рангов при инверсии получаем, что $\varepsilon_{ik}$ - тензор, если $a_i$, $b_k$ - векторы или псевдовекторы и псевдотензор, если один из двух объектов $a_i$, $b_k$ - вектор, а другой псевдовектор.