Задача 14. Найти закон преобразования совокупности объёмных интегралов:

\[T_{ik} = \int x_i x_k dV\]

при пространственных поворотах и отражениях ($x_i$, $x_k$ - декартовы координаты).

Решение. В новой декартовой системе координат после поворота:

\[x_i' = \alpha_{ik} x_k\] \[T_{ik}' = \int x_i' x_k' dV' = \int \alpha_{ip} \alpha_{ks} x_p x_s \det(\alpha_{ik}) dV\]

Так как $\alpha_{ik}$ - матрица поворота декартовой системы координат, то она не зависит от точки внутри рассматриваемого объёма. Кроме того поворот системы координат не влияет на величину элемента объёма: $\det(\alpha_{ik}) = 1$. Поэтому:

\[T_{ik}' = \alpha_{ip} \alpha_{ks} T_{ps}\]

Обе матрицы при инверсии диагональные с $-1$ на главной диагонали, но и $\det{\alpha_{ik}} = -1$, поэтому совокупность величин $T_{ik}$ меняет знак при инверсии и представляет собой псевдотензор 2 ранга (умножается на $(-1)^{2 + 1}$).