Задача 15. Составить матрицы преобразования базисных ортов при переходе от декартовых координат к сферическим и обратно; при при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и обратно.

Решение. Переход от декартовой системы координат к сферической и обратно выполняется по соотношениям:

\[\begin{aligned} & r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ & \theta = \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ & \alpha = \arctan \frac{y}{x} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & x = r \sin \theta \cos \alpha \\ & y = r \sin \theta \sin \alpha \\ & z = r \cos \theta \end{aligned}\]

Начать следовало бы с поиска координатных линий, но мы это делать не будем, а будем считать, что нам известно соотношение для базисных ортов через радиус-вектор и параметры Ламэ:

\[\vec{e}_i = \frac{1}{H_i} \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i},\qquad H_i = \left|\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i}\right|\]

Отсюда следует:

\[\begin{aligned} & \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = \sin \theta \cos \alpha \vec{e}_x + \sin \theta \sin \alpha \vec{e}_y + \cos \theta \vec{e}_z \\ & \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = r \cos \theta \cos \alpha \vec{e}_x + r \cos \theta \sin \alpha \vec{e}_y - r \sin \theta \vec{e}_z \\ & \frac{\partial \vec{r}}{\partial \alpha} = - r \sin \theta \sin \alpha \vec{e}_x + r \sin \theta \cos \alpha \vec{e}_y \end{aligned}\]

Откуда легко получить коэффициенты Ламэ:

\[H_r = 1, \qquad H_\theta = r, \qquad H_\alpha = r \sin \theta\]

И матрицы преобразования ортов:

\[\begin{pmatrix} \vec{e}_r \\ \vec{e}_\theta \\ \vec{e}_\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \alpha & \sin \theta \sin \alpha & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \alpha & \cos \theta \sin \alpha & - \sin \theta \\ - \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{e}_x \\ \vec{e}_y \\ \vec{e}_z \end{pmatrix}\]

Легко убедится в том, что обратная матрица равна транспонированной.

Аналогично для цилиндрических координат. Закон преобразования:

\[\begin{aligned} & x = r \cos \alpha \\ & y = r \sin \alpha \\ & z = z \end{aligned}\] \[\begin{aligned} & \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = \cos \alpha \vec{e}_x + \sin \alpha \vec{e}_y \\ & \frac{\partial \vec{r}}{\partial \alpha} = - r \sin \alpha \vec{e}_x + r \cos \alpha \vec{e}_y \\ & \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} = \vec{e}_z \end{aligned}\]

Откуда следует, что коэффициенты Ламэ:

\[H_r = 1, \qquad H_\alpha = r, \qquad H_z = 1\]

Матрица преобразования ортов:

\[\begin{pmatrix} \vec{e}_r \\ \vec{e}_\theta \\ \vec{e}_\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ - \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{e}_x \\ \vec{e}_y \\ \vec{e}_z \end{pmatrix}\]