Задача 17. Найти матрицу преобразования компонент вектора при повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера $\alpha_1$, $\theta$, $\alpha_2$, путём перемножения матриц соответствующих поворотам вокруг оси $z$ на угол $\alpha_1$, вокруг линии узлов $ON$ на угол $\theta$ и вокруг оси $z’$ на угол $\alpha_2$.

Решение. У нас даны 3 матрицы поворота:

\[\hat{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} \cos \alpha_1 & \sin \alpha_1 & 0 \\ - \sin \alpha_1 & \cos \alpha_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[\hat{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\] \[\hat{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} \cos \alpha_2 & \sin \alpha_2 & 0 \\ - \sin \alpha_2 & \cos \alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Достаточно их перемножить:

\[\hat{\alpha}_2 \hat{\theta} \hat{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} \cos \alpha_2 & \sin \alpha_2 & 0 \\ - \sin \alpha_2 & \cos \alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \hat{\alpha}_1 =\] \[= \begin{pmatrix} \cos \alpha_2 & \sin \alpha_2 \cos \theta & \sin \alpha_2 \sin \theta \\ - \sin \alpha_2 & \cos \alpha_2 \cos \theta & \cos \alpha_2 \sin \theta \\ 0 & - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha_1 & \sin \alpha_1 & 0 \\ - \sin \alpha_1 & \cos \alpha_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} \cos \alpha_2 \cos \alpha_1 - \sin \alpha_2 \sin \alpha_1 \cos \theta & \cos \alpha_2 \sin \alpha_1 + \sin \alpha_2 \cos \alpha_1 \cos \theta & \sin \alpha_2 \sin \theta \\ - \sin \alpha_2 \cos \alpha_1 - \sin \alpha_1 \cos \alpha_2 \cos \theta & - \sin \alpha_2 \sin \alpha_1 + \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \cos \theta & \cos \alpha_2 \sin \theta \\ \sin \alpha_1 \sin \theta & - \cos \alpha_1 \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]