Задача 18. Найти матрицу $\hat{D}(\alpha_1\theta\alpha_2)$, с помощью которой преобразуются циклические компоненты вектора (см. задачу 10) при повороте координатной системы, определяемом углами Эйлера $\alpha_1, \theta, \alpha_2$.

Решение. Выпишем матрицу с помощью которой можно перевести декартовы компоненты вектора в циклические:

\[\begin{pmatrix} a_{+1} \\ a_{-1} \\ a_0 \end{pmatrix} = \hat{\gamma} \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}\]

Обратная матрица:

\[\hat{\gamma}^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} i & \frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \left(\hat{\gamma}^T\right)^* = \hat{\gamma}^{H}\]

Тогда искомая матрица:

\[\hat{D}'(\alpha_1 \theta \alpha_2) = \hat{\gamma} \hat{D}(\alpha_1 \theta \alpha_2) \hat{\gamma}^H = \hat{\gamma} \hat{\alpha}_2 \hat{\theta} \hat{\alpha}_1 \hat{\gamma}^H = \hat{\gamma} \hat{\alpha}_2 \hat{\gamma}^H \hat{\gamma} \hat{\theta} \hat{\gamma}^H \hat{\gamma} \hat{\alpha}_1 \hat{\gamma}^H =\]

То есть произведению преобразованных матриц:

\[\hat{\gamma} \hat{\alpha}_1 \hat{\gamma}^H = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha_1 & \sin \alpha_1 & 0 \\ - \sin \alpha_1 & \cos \alpha_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} i & \frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} e^{- i \alpha_1} & - \frac{i}{\sqrt{2}} e^{- i \alpha_1} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \alpha_1} & - \frac{i}{\sqrt{2}} e^{i \alpha_1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} i & \frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} e^{- i \alpha_1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i \alpha_1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[\hat{\gamma} \hat{\theta} \hat{\gamma}^H = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} i & \frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i \cos \theta & -\frac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} i \cos \theta & -\frac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta \\ 0 & - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} i & \frac{1}{\sqrt{2}} i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} \dfrac{1 + \cos \theta}{2} & \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta \\ \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} & \dfrac{1 + \cos \theta}{2} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta & - \frac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]

Окончательно:

\[\hat{D}'(\alpha_1 \theta \alpha_2) = \begin{pmatrix} e^{- i \alpha_2} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i \alpha_2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{1 + \cos \theta}{2} & \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta \\ \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} & \dfrac{1 + \cos \theta}{2} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta & - \frac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{- i \alpha_1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i \alpha_1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} \dfrac{1 + \cos \theta}{2} e^{- i \alpha_2} & \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} e^{- i \alpha_2} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i e^{- i \alpha_2} \sin \theta \\ \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} e^{i \alpha_2} & \dfrac{1 + \cos \theta}{2} e^{i \alpha_2} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i e^{i \alpha_2} \sin \theta \\ - \dfrac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta & - \dfrac{1}{\sqrt{2}} i \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{- i \alpha_1} & 0 & 0 \\ 0 & e^{i \alpha_1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} \dfrac{1 + \cos \theta}{2} e^{- i (\alpha_2 + \alpha_1)} & \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} e^{i(\alpha_1 - \alpha_2)} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i e^{- i \alpha_2} \sin \theta \\ \dfrac{- 1 + \cos \theta}{2} e^{i (\alpha_2 - \alpha_1)} & \dfrac{1 + \cos \theta}{2} e^{i (\alpha_2 + \alpha_1)} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} i e^{i \alpha_2} \sin \theta \\ - \dfrac{1}{\sqrt{2}} i e^{- i \alpha_1} \sin \theta & - \dfrac{1}{\sqrt{2}} i e^{i \alpha_1} \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]