Задача 19. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат $\hat{\alpha}$ может быть записана в виде $\hat{\alpha} = \hat{1} + \hat{\varepsilon}$, где $\hat{\varepsilon}$ - антисимметричная матрица ($\varepsilon_{ik} = - \varepsilon_{ki}$). Выяснить геометрический смысл $\varepsilon_{ik}$.

Решение. Поворот системы координат задаётся в форме ортогональной матрицы:

\[x_i' = \alpha_{ik} x_k\] \[\alpha_{ik} = \alpha_{ki}^{-1}\] \[\alpha_{ik} \alpha_{ij} = \delta_{kj}\]

Поворот на нулевой угол даёт в качестве матрицы поворота единичную матрицу. Отсюда следует, что матрица бесконечно малого поворота близка к единичной. Представляем матрицу бесконечно малого поворота в форме суммы единичной матрицы и матрицы $\hat{\varepsilon}$ такой же по малости, как и угол поворота, и используем условие ортогональности матрицы:

\[\delta_{ik} \delta_{ij} + \varepsilon_{ik} \delta_{ij} + \varepsilon_{ij} \delta_{ik} + \varepsilon_{ik} \varepsilon_{ij} = \delta_{kj}\]

Пренебрегая слагаемыми с более высокой степенью малости $\varepsilon_{ik} \varepsilon_{ij}$, получаем:

\[\varepsilon_{jk} + \varepsilon_{kj} = 0\]

т. е. антисимметрию матрицы бесконечно малого поворота. Введём вектор:

\[d\varphi_k = \frac{1}{2} \epsilon_{kij}\varepsilon_{ij}\]

Тогда:

\[\varepsilon_{ij} = \epsilon_{kij} d\varphi_k\]

Так как:

\[\epsilon_{kij} \varepsilon_{klm} = \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}\]

А это приводит к тому, что преобразование системы координат превращается в:

\[x_k' = x_k + \epsilon_{kij} d\varphi_i x_j\]

Или:

\[\vec{r}' = \vec{r} + d\vec{\varphi} \times \vec{r}\]

Последнее означает, что происходит поворот вокруг оси, задаваемой вектором $d\varphi$, а величина угла поворота есть его модуль. Действительно, выберем некоторый вектор вдоль оси $\vec{s} = \beta d\vec{\varphi}$, видим, что он не меняется при данном преобразовании, а это и означает, что вектор $d\vec{\varphi}$ задаёт ось вращения. Далее, заметим, что если мы выберем в качестве оси $z$ ось вращения, то, матрица поворота:

\[\hat{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ - \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

При бесконечно малом угле:

\[\hat{\alpha} = \hat{1} + \begin{pmatrix} 0 & d \varphi & 0 \\ - d \varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Из сравнения исходной матрицы с данной и следует, что $d\varphi$ имеет смысл угла поворота.