Задача 2. Доказать тождества:

а) $ (\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) = (\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D}) - (\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}) = (1) $

б) $ (\vec{A}\times\vec{B})\times(\vec{C}\times\vec{D}) = [\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{D})]\vec{C} - [\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})]\vec{D} = [\vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{D})]\vec{B} - [\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{D})]\vec{A} = (2) $

Решение.

Первое утверждение становится очевидным, если переписать его с помощью тензора Леви-Чивиты:

\[(1) = \epsilon_{ijk} A_j B_k \epsilon_{ilm} C_l D_m\]

Далее вспоминая очевидное свойство тензора Леви-Чивиты:

\[\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}\]

Получаем требуемое равенство. Можно сделать и иначе: по свойствам смешанного произведения и соотношению для векторного произведения трёх векторов - но этот путь более громоздок.

Второе утверждение также может быть получено из тех же свойств, но мы снова воспользуемся тензорами:

\[(2) = \epsilon_{irs} \epsilon_{rjk} A_j B_k \epsilon_{slm} C_l D_m = \epsilon_{rsi} \epsilon_{rjk} A_j B_k \epsilon_{slm} C_l D_m =\] \[= (\delta_{sj}\delta_{ik} - \delta_{sk}\delta_{ij}) \epsilon_{slm} A_j B_k C_l D_m = (\delta_{ik} \epsilon_{jlm} - \delta_{ij} \epsilon_{klm}) A_j B_k C_l D_m =\] \[= (\epsilon_{jlm} A_j B_i C_l D_m - \epsilon_{klm} A_i B_k C_l D_m)\]

Так получено равенство 1 и 3 выражений из б). Проделывая аналогичные выкладки для $\epsilon_{irs} \epsilon_{slm}$ можно получить и равенство 1 и 2 выражений. Всё доказано.