Задача 20. Доказать, что если матрица $\alpha$ - ортогональная матрица преобразования, то при её транспонировании получается матрица обратного преобразования.

Решение. По определению ортогональной матрицы, приведённому в задачнике:

\[\alpha_{ik} \alpha_{ij} = \delta_{kj}\]

А по определению обратной матрицы:

\[\alpha_{ki}^{-1} \alpha_{ij} = \alpha_{ki} \alpha_{ij}^{-1} = \delta_{kj}\]

Умножаем первое выражение справа на обратную матрицу:

\[\alpha_{ik} \alpha_{ij} \alpha_{js}^{-1} = \alpha_{sk} = \delta_{kj} \alpha_{js}^{-1} = \alpha_{ks}^{-1}\]

Всё - утверждение доказано.