Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970
Задача 21. Показать, что матрица преобразования базиса координатной системы при отражении и повороте и матрица преобразования компонент вектора совпадают.
Решение. Странная задача. Пусть координаты преобразуются по закону:
\[x_k' = \alpha_{ki} x_i\]При отражении и повороте матрица $\alpha_{ki}$ представляет собой матрицу поворота умноженная на матрицу отражения в нужной последовательности. Данная матрица остаётся ортогональной, поэтому:
\[\alpha_{kp} \alpha_{ki} x_i = x_p = \alpha_{kp} x_{k}'\]Базис координатной системы задаётся в виде соотношений:
\[\vec{e}_i' = \frac{\partial x_k}{\partial x_i'} \vec{e}_k = \alpha_{ik} \vec{e}_k\]А при преобразовании вектора:
\[b_i = \alpha_{ik} b_k\]То есть матрицы действительно совпадают. Следует отметить, что если бы речь шла о псевдовекторе, то легко было бы заметить, что в этом случае матрицы бы не совпали. Для матрицы определяющей поведение псевдовектора при инверсии знак был бы другой. Это означает, что базис декартовой системы координат представляет собой совокупность векторов.