Задача 21. Показать, что матрица преобразования базиса координатной системы при отражении и повороте и матрица преобразования компонент вектора совпадают.

Решение. Странная задача. Пусть координаты преобразуются по закону:

\[x_k' = \alpha_{ki} x_i\]

При отражении и повороте матрица $\alpha_{ki}$ представляет собой матрицу поворота умноженная на матрицу отражения в нужной последовательности. Данная матрица остаётся ортогональной, поэтому:

\[\alpha_{kp} \alpha_{ki} x_i = x_p = \alpha_{kp} x_{k}'\]

Базис координатной системы задаётся в виде соотношений:

\[\vec{e}_i' = \frac{\partial x_k}{\partial x_i'} \vec{e}_k = \alpha_{ik} \vec{e}_k\]

А при преобразовании вектора:

\[b_i = \alpha_{ik} b_k\]

То есть матрицы действительно совпадают. Следует отметить, что если бы речь шла о псевдовекторе, то легко было бы заметить, что в этом случае матрицы бы не совпали. Для матрицы определяющей поведение псевдовектора при инверсии знак был бы другой. Это означает, что базис декартовой системы координат представляет собой совокупность векторов.