Задача 21. Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа координатных осей определитель преобразования равен +1 (собственные преобразования), а при отражениях нечётного числа координатных осей этот определитель равен -1 (несобственные преобразования).

Решение. Из ортогональности матрицы поворота:

\[\alpha_{ik} \alpha_{ij} = \delta_{kj}\]

следует:

\[\det \hat{\alpha} = \pm 1\]

Если поворот производится на нулевой угол, то $\det \hat{\alpha} = 1$. Так как элементы матрицы поворота - непрерывные функции углов поворота, то и всюду

\[\det \hat{\alpha} = 1\]

Далее рассмотрим отражения. При отражениях матрица преобразования представляет собой диагональную матрицу, на главной диагонали которой стоят -1 или 1 в зависимости от того, отражается ось или нет. Для такой матрицы определитель будет равен $(-1)^s$, где $s$ - число отражений. Отсюда и следует утверждение задачи.