Задача 24. Во всех декартовых системах координат задана совокупность величин $\epsilon_{ikl}$, обладающих следующими свойствами: при перестановке любых двух индексов $e_{ikl}$ меняет знак; $e_{123} = 1$. Показать, что эта совокупность $\epsilon_{ikl}$ образует псевдотензор 3 ранга (совершенно антисимметричный единичный псевдотензор 3 ранга).

Решение. Заметим, что независимо от системы координат выполняется равенство:

\[\epsilon_{ikl}' = \epsilon_{ikl}\]

Рассмотрим определитель матрицы поворота:

\[\begin{vmatrix} \alpha_{i1} & \alpha_{i2} & \alpha_{i3} \\ \alpha_{j1} & \alpha_{j2} & \alpha_{j3} \\ \alpha_{k1} & \alpha_{k2} & \alpha_{k3} \end{vmatrix}\]

Очевидно, что данная матрица равна нулю, если хотя бы два числа $i,j,k$ совпадают и не равна нулю если все они различны, но она равна 1 по задаче 22, если $i = 1$, $j = 2$, $k = 3$. Другие варианты получаются из неё путём перестановок $(i, j, k)$ или с точки зрения определителей заменой столбцов. При этом каждая перестановка приводит к умножению определителя на $-1$. Таким образом, данный определитель обладает рассматриваемыми свойствами $\epsilon_{ijk}$. Далее легко видеть, что:

\[\epsilon_{ijk}' = \begin{vmatrix} \alpha_{i1} & \alpha_{i2} & \alpha_{i3} \\ \alpha_{j1} & \alpha_{j2} & \alpha_{j3} \\ \alpha_{k1} & \alpha_{k2} & \alpha_{k3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha_{i1} & \alpha_{i2} & \alpha_{i3} \\ \alpha_{j1} & \alpha_{j2} & \alpha_{j3} \\ \alpha_{k1} & \alpha_{k2} & \alpha_{k3} \end{vmatrix} e_{123} = \alpha_{is} \alpha_{jp} \alpha_{kl} \epsilon_{spl}\]

То есть перед нами система величин, которая меняется при поворотах по закону преобразования тензоров. Теперь разберёмся, что будет происходить при инверсиях. При инверсиях имеет место равенство:

\[\epsilon_{ijk}' = \epsilon_{ijk}\]

Следовательно перед нами тензор 3 ранга, который при инверсии умножается на $(-1)^{3 + 1}$, т.е. псевдотензор.