Задача 25. Доказать, что компоненты антисимметричного тензора второго ранга при вращениях преобразуются как компоненты вектора.

Решение.

Построим из тензора вектор:

\[\epsilon_{ijk} \varepsilon_{jk}\]

Очевидно, что он преобразуется как вектор:

\[\epsilon_{ijk}' \varepsilon_{jk}' = \epsilon_{ijk} \varepsilon_{jk}' = \alpha_{is} \epsilon_{sjk}\varepsilon_{jk}\]

Пользуясь очевидным свойством:

\[\epsilon_{ijk} \epsilon_{irs} = \delta_{jr} \delta_{ks} - \delta_{js} \delta_{kr}\]

Получаем:

\(\epsilon_{isr}\epsilon_{ijk} \varepsilon_{jk}' = \delta_{jr} \delta_{ks}\varepsilon_{jk}' - \delta_{js} \delta_{kr}\varepsilon_{jk}' =\varepsilon_{rs}' - \varepsilon_{sr}' = 2 \varepsilon_{rs}' =\) \(= \epsilon_{isr} \alpha_{is} \epsilon_{sjk}\varepsilon_{jk} = \alpha_{is} (\delta_{rj} \delta_{ik} - \delta_{rk} \delta_{ij})\varepsilon_{jk} = \alpha_{is} (\delta_{rj} \delta_{ik} - \delta_{rk} \delta_{ij})\varepsilon_{jk} = \alpha_{is} (\varepsilon_{ri} - \varepsilon_{ir}) = 2 \alpha_{is} \varepsilon_{ri}\)

Т.е. компоненты преобразуются не как вектор, а обратно закону преобразования векторов:

\[\varepsilon_{rs}' = \alpha_{si}^{-1} \varepsilon_{ri}\]

Как вектор преобразуется именно система величин:

\[\epsilon_{ijk} \varepsilon_{jk}\]