Задача 27. Доказать равенства:

а) $\epsilon_{ikl} \epsilon_{ipr} = \delta_{kp} \delta_{lr} - \delta_{kr} \delta_{lp}$

б) $\epsilon_{ikl} \epsilon_{jkl} = 2 \delta_{ij}$

Решение. Первое очевидно. Мы суммируем по $i$. $i$ в каждом сомножителе суммы совпадает, значит $k, l$ и $p, r$ - два других числа взятых в немного другой последовательности. Возможны лишь две ненулевые комбинации - два слагаемых в сумме. В первом - положительном - $k = p$, $l = r$, во втором - отрицательном - $k = r$, $l = p$. На этом доказательство завершается.

Второе докажем, используя первое:

\[\epsilon_{ikl} \epsilon_{jkl} = \delta_{ll} \delta_{ij} - \delta_{lj} \delta_{li} = 3 \delta_{ij} - \delta_{ij} = 2 \delta_{ij}\]

Вообще существует общее выражение для антисимметричного тензора. В данном случае, например:

\[\epsilon_{ijk} = \begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{j1} & \delta_{k1} \\ \delta_{i2} & \delta_{j2} & \delta_{k2} \\ \delta_{i3} & \delta_{j3} & \delta_{k3} \\ \end{vmatrix}\]

В таком виде абсолютный антисимметричный тензор обобщается на произвольное число измерений. Допускают обобщения и соответствующие формулы для свёрток пары тензоров Леви-Чивиты.