Задача 28. Записать в инвариантной векторной форме:

а) $\epsilon_{inl} \epsilon_{irs} \epsilon_{lmp} \epsilon_{stp} a_n a_r b_m c_t$

б) $\epsilon_{inl}\epsilon_{krs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp} a_r a_n’ b_k b_i’ c_i c_m’$

Решение.

\[\epsilon_{inl} \epsilon_{irs} \epsilon_{lmp} \epsilon_{stp} a_n a_r b_m c_t = (\delta_{im}\delta_{np}-\delta_{ip}\delta_{nm} ) (\delta_{it}\delta_{rp}-\delta_{ip}\delta_{rt} ) a_n a_r b_m c_t =\] \[= (\delta_{im}\delta_{np}-\delta_{ip}\delta_{nm} ) (a_n a_p b_m c_i - \delta_{ip} a_n a_r b_m c_r) = a_p a_p b_m c_m - a_n a_r b_n c_r - a_n a_p b_n c_p + \delta_{pp} a_n a_r b_n c_r =\] \[= \vec{a}^2 (\vec{b}\cdot\vec{c}) - 2 (\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{c}) + 3 (\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{c}) = \vec{a}^2 (\vec{b}\cdot\vec{c}) + (\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{c})\] \[\epsilon_{inl}\epsilon_{krs}\epsilon_{lmp}\epsilon_{stp} a_r a_n' b_k b_i' c_t c_m' = (\delta_{im}\delta_{np} - \delta_{ip}\delta_{nm}) \epsilon_{stp}a_n' b_i' c_t c_m' \epsilon_{krs} b_k a_r =\] \[= (a_p' b_m' c_t c_m'- a_n' b_p' c_t c_n') \epsilon_{stp} \epsilon_{krs} b_k a_r = (\vec{b}'\cdot\vec{c}') ([\vec{c}\times\vec{a}'] \cdot [\vec{b}\times\vec{a}]) - (\vec{a}'\cdot\vec{c}') ([\vec{c}\times\vec{b}'] \cdot [\vec{b}\times\vec{a}]) =\] \[= (a_p' b_m' c_t c_m'- a_n' b_p' c_t c_n') (\delta_{kt} \delta_{pr} - \delta_{rt} \delta_{kp}) b_k a_r =\] \[= (a_r' b_m' c_k c_m'- a_n' b_r' c_k c_n' - a_k' b_m' c_r c_m'+ a_n' b_k' c_r c_n') b_k a_r =\] \[= (\vec{a}\cdot\vec{a}') (\vec{b}\cdot\vec{c}) (\vec{b}'\cdot\vec{c}') - (\vec{a}\cdot\vec{b}') (\vec{a}'\cdot\vec{c}') (\vec{b}\cdot\vec{c}) - (\vec{a}\cdot\vec{c}) (\vec{a}'\cdot\vec{b}) (\vec{b}'\cdot\vec{c}') + (\vec{a}\cdot\vec{c}) (\vec{a}'\cdot\vec{c}') (\vec{b}\cdot\vec{b}')\]

Второе можно упростить из промежуточного выражения:

\[(\vec{b}'\cdot\vec{c}') ([\vec{c}\times\vec{a}'] \cdot [\vec{b}\times\vec{a}]) - (\vec{a}'\cdot\vec{c}') ([\vec{c}\times\vec{b}'] \cdot [\vec{b}\times\vec{a}]) =\] \[= [\vec{c}\times \{(\vec{b}'\cdot\vec{c}') \vec{a}' - (\vec{a}'\cdot\vec{c}')\vec{b}'\}] \cdot [\vec{b}\times\vec{a}]) =\] \[= [\vec{c}\times \{\vec{c}' \times [\vec{a}' \times \vec{b}']\}] \cdot [\vec{b}\times\vec{a}]) = (\vec{c}\times [\vec{a}\times\vec{b}] ) \cdot (\vec{c}' \times [\vec{a}' \times \vec{b}'])\]