Задача 29. Показать, что тензор $T_{ik} a_i b_k - T_{ik} a_k b_i = 2 \vec{\omega} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$, где $T_{ik}$ - произвольный тензор второго ранга, $\vec{a}, \vec{b}$ - векторы, $\omega$ - вектор, эквивалентный антисимметричной части $T_{ik}$.

Решение.

Вектор эквивалентный антисимметричной части $T_{ik}$ по определению:

\[\omega_p = \frac{1}{2}\epsilon_{pik} T_{ik}\]

Пойдём от обратного:

\[2 \vec{\omega} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \epsilon_{pik} T_{ik} \epsilon_{prs} a_r b_s = (\delta_{ir} \delta_{ks} - \delta_{is} \delta_{kr}) T_{ik} a_r b_s =\] \[= T_{rs} a_r b_s - T_{sr} a_r b_s = T_{rs} (a_r b_s - a_s b_r)\]