Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970
Задача 3. Во всех декартовых системах координат задана совокупность трёх величин $a_i$ ($i = 1,2,3$) и известно, что $a_i b_i = inv$ относительно поворотов и отражений. Доказать, что если $b_i$ - вектор (псевдовектор), то $a_i$ - также вектор (псевдовектор).
Решение.
Пусть повороты задаются соотношением вида:
\[b_i' = \alpha_{ij} b_j\]Так как речь идёт о поворотах, то матрица $\alpha_{ij}$ представляет собой ортогональную матрицу:
\[\alpha_{ik} \alpha_{il} = \delta_{kl}\]Тогда:
\[a_i' b_i' = a_i' \alpha_{ij} b_j = a_i b_i = inv\] \[(a_j' \alpha_{ji} - a_i) b_i = 0\]Если последнее соотношение справедливо для любого $b_i$, то выбирая последовательно в качестве $b_i$ орты легко получить:
\[a_i' \alpha_{ij} = a_j\]Умножим на $\alpha_{jk}$ и учтём ортогональность матрицы поворотов, мы получим, что компоненты $a_i$ меняются при поворотах по закону:
\[a_i' \delta_{ik} = a_j \alpha_{jk}\] \[a_k' = a_j \alpha_{jk}\]Операция инверсии координатных осей также задаётся аналогичной, но диагональной матрицей, состоящей из $-1$. Но матрица преобразования векторов состоит из $-1$, а матрица преобразования псевдовекторов состоит из $1$. Поэтому для неё справедливы все выкладки выше. Соответсвенно $a_i$ - вектор или псевдовектор, в зависимости от того является $b_i$ - вектором или псевдовектором.
Отметим одну особенность. В доказательстве использовалось то, что вектор (псевдовектор) $b_i$ любой, и для любого $b_i$ - $a_i b_i = inv$. Можно ли было обойтись только тем, что $b_i$ не произвольный вектор (псевдовектор), а лишь некоторый?
Здесь сразу возникает контрпример. Если $b_i$ нулевой вектор, то закон преобразования вообще не имеет значения. $a_i$ может быть как вектором, так вектором и не быть. Но что если $b_i$ некоторый ненулевой вектор (псевдовектор)? Что тогда? Запишем соотношение для системы, в которой $b_i$ направлен вдоль оси $x$:
\[(a_j' \alpha_{j1} - a_1) b_1 = 0\]Отсюда следует, что:
\[a_j' \alpha_{j1} = a_1\]Но больше ничего сказать нельзя. Из одного уравнения с 3 неизвестными $a_j’$ получить закон преобразования не удаётся. Можно далее рассмотреть закон преобразования в случае, если существует два неколлинеарных вектора (псевдовектора) $b_i$ для которых $a_i b_i = inv$ и показать, что также систему разрешить нельзя. И только в случае, если дано 3 некомпланарных вектора (псевдовектора) $b_i$, для которых соотношение выполняется, удаётся получить требуемый закон преобразования. Но отсюда следует и то, что для любого вектора $b_i$ $a_i b_i = inv$.
Таким образом, получаем более корректное утверждение задачи: если для любого вектора (псевдовектора) $b_i$: $a_i b_i = inv$, то система из трёх величин $a_i$ образует вектор (псевдовектор).