Задача 30. Представить произведение $[\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})][\vec{a}’\cdot(\vec{b}’\times\vec{c}’)]$ в виде суммы членов, содержащих только скалярные произведения векторов.

Решение.

Воспользуемся представлением смешанного произведения в форме определителей:

\[[\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})][\vec{a}'\cdot(\vec{b}'\times\vec{c}')] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_x' & b_x' & c_x' \\ a_y' & b_y' & c_y' \\ a_z' & b_z' & c_z' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{a}\cdot\vec{a}' & \vec{a}\cdot\vec{b}' & \vec{a}\cdot\vec{c}' \\ \vec{b}\cdot\vec{a}' & \vec{b}\cdot\vec{b}' & \vec{b}\cdot\vec{c}' \\ \vec{c}\cdot\vec{a}' & \vec{c}\cdot\vec{b}' & \vec{c}\cdot\vec{c}' \end{vmatrix} =\] \[= (\vec{a}\cdot\vec{a}')(\vec{b}\cdot\vec{b}')(\vec{c}\cdot\vec{c}') + (\vec{a}\cdot\vec{b}')(\vec{b}\cdot\vec{c}')(\vec{c}\cdot\vec{a}') + (\vec{a}\cdot\vec{c}')(\vec{b}\cdot\vec{a}')(\vec{c}\cdot\vec{b}') - (\vec{a}\cdot\vec{c}')(\vec{b}\cdot\vec{b}')(\vec{c}\cdot\vec{a}') - (\vec{a}\cdot\vec{b}')(\vec{b}\cdot\vec{a}')(\vec{c}\cdot\vec{c}') - (\vec{a}\cdot\vec{a}')(\vec{b}\cdot\vec{c}')(\vec{c}\cdot\vec{b}')\]