Задача 31. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор 2 ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, пропорционален $\delta_{ik}$; тензор 3 ранга - $\epsilon_{ijk}$; тензор 4 ранга - $\delta_{ik} \delta_{lm} + \delta_{im} \delta_{kl} + \delta_{il} \delta_{km}$.

Решение.

а) Предположим, что такой вектор существует. Выполним поворот системы координат в плоскости $xy$ на $\pi$:

\[x' = -x, \qquad y' = -y, \qquad z' = z\]

Компоненты вектора при этом преобразуются по закону:

\[a_x' = - a_x = a_x, \qquad a_y' = - a_y = a_y, \qquad a_z' = a_z\]

Отсюда следует, что $a_x = a_y = 0$. Выполняя аналогичный поворот в плоскости $xz$ получаем тоже самое для компоненты $a_z$. Таким образом, только нулевой вектор не меняется при поворотах системы координат.

б) Предположим, что такой тензор $T_{ik}$ существует. В нём есть два типа компонент: $i = k$, $i \ne k$. Выполним тот же поворот, что и выше и посмотрим, как изменится компонента $T_{xz}$. Легко видеть, что:

\[T_{xz}' = - T_{xz} = T_{xz}\]

Отсюда следует, что $T_{xz} = 0$. Аналогично, выполняя друугие повороты на $\pi$, получаем 0 и для других компонент с $i \ne k$. Теперь выполним преобразование координат вида:

\[x' = y, \qquad y' = z, \qquad z' = x\]

Отсюда следует, что:

\[T_{xx}' = T_{yy} = T_{xx}\]

и так далее для других диагональных компонент. Получаем, что если такой тензор существует, то он имеет вид $T_{ik} = \lambda \delta_{ik}$. Осталось показать, что данный тензор действительно не меняется при поворотах (для вектора это было очевидно - здесь нет!).

\[T_{ik}' = \alpha_{is} \alpha_{kp} T_{kp} = \alpha_{is} \alpha_{kp} \lambda \delta_{sp} = \lambda \alpha_{is} \alpha_{ks} = \lambda \delta_{ik} = T_{ik}\]

в) Действуем как и выше. Рассмотрим комопненту вида $T_{xxx}$. Выполним поворот на $\pi$ в плоскости $xy$, получаем:

\[T_{xxx}' = - T_{xxx} = T_{xxx}\]

Откуда следует, что $T_{xxx} = 0$, аналогично и для других компонент вида $T_{iii}$. Далее рассмотрим компоненту $T_{xxz}$ выполним поворот в плоскости $zx$ на $\pi$. Аналогично получаем:

\[T_{xxz}' = - T_{xxz} = T_{xxz}\]

Соответственно и $T_{xxz} = 0$, аналогично и для других перестановок $xxz$ и для всех других компонент, в которых пара индексов совпадают. Осатлись компоненты, где все 3 индекса - разные. Выполняем циклическую перестановку для компоненты $T_{xyz}$:

\[T_{xyz}' = T_{yzx} = T_{xyz}\]

Аналогично:

\[T_{xyz} = T_{yzx} = T_{zxy}\] \[T_{yxz} = T_{zyx} = T_{xzy}\]

Далее выполним поворот на $\pi/2$ в плоскости $xy$:

\[x' = y, \qquad y' = -x, \qquad z' = z\]

После такого поворота получаем:

\[T_{xyz}' = - T_{yxz}\]

Откуда с учётом равенств выше, получаем, что тензор 3 ранга, который не меняется при поворотах, должен быть пропорционален $\epsilon_{ijk}$. И это действительно следует из свойств тензора Леви-Чивиты (см. задачу 24).

г) Повторяем все предыдущие выкладки для тензора $T_{ijkl}$. Начнём с компонент вида $T_{xxxz}$ и $T_{xxyz}$ и поворота на $\pi$ в плоскости $xy$. Для них очевидно:

\[T_{xxxz}' = - T_{xxxz} = T_{xxxz}\] \[T_{xxyz}' = - T_{xxyz} = T_{xxyz}\]

Откуда следует, что $T_{xxxz} = 0$, $T_{xxyz} = 0$, а также для всех их перестановок и циклических замен. Рассмотрим теперь компоненты $T_{xxyy}$, $T_{xyxy}$, $T_{xyyx}$ и $T_{xxxx}$. Для них выполним поворот на $\pi/2$ в плоскости $xy$:

\[x' = y, \qquad y' = -x, \qquad z' = z\] \[T_{xyxy}' = T_{yxyx} = T_{xyxy}\] \[T_{xyyx}' = T_{yxxy} = T_{xyyx}\] \[T_{xxyy}' = T_{yyxx} = T_{xxyy}\] \[T_{xxxx}' = T_{yyyy} = T_{xxxx}\]

Откуда следует, что и:

\[T_{xxyy} = T_{xxzz} = T_{yyxx} = T_{yyzz} = T_{zzxx} = T_{zzyy} = T_1\] \[T_{xyxy} = T_{xzxz} = T_{yxyx} = T_{yzyz} = T_{zxzx} = T_{zyzy} = T_2\] \[T_{xyyx} = T_{xzzx} = T_{yxxy} = T_{yzzy} = T_{zxxz} = T_{zyyz} = T_3\] \[T_{xxxx} = T_{yyyy} = T_{zzzz} = T_4\]

Теперь предстоит самое непростое. Сделаем поворот в плоскости $xy$ на $\pi/4$.

\[x' = x \cos \frac{\pi}{4} - y \sin \frac{\pi}{4}, \qquad y' = x \sin \frac{\pi}{4} + y \cos \frac{\pi}{4}, \qquad z' = z\] \[T_{xxyy}' = \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{yx} \alpha_{yx} T_{xxxx} + \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{yy} \alpha_{yy} T_{xxyy} + \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{yx} \alpha_{yx} T_{yyxx} + \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{yy} \alpha_{yy} T_{yyyy} +\] \[+ \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{yx} \alpha_{yy} T_{xyxy} + \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{yy} \alpha_{yx} T_{yxyx} + \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{yx} \alpha_{yy} T_{yxxy} + \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{yy} \alpha_{yx} T_{xyyx}\] \[T_{xxxx}' = \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{xx} T_{xxxx} + \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{xy} T_{xxyy} + \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{xx} T_{yyxx} + \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{xy} T_{yyyy} +\] \[+ \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{xy} T_{xyxy} + \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{xx} T_{yxyx} + \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{xy} T_{yxxy} + \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{xx} T_{xyyx}\] \[T_{yxxy}' = \alpha_{yx} \alpha_{xx} \alpha_{xx} \alpha_{yx} T_{xxxx} + \alpha_{yx} \alpha_{xx} \alpha_{xy} \alpha_{yy} T_{xxyy} + \alpha_{yy} \alpha_{xy} \alpha_{xx} \alpha_{yx} T_{yyxx} + \alpha_{yy} \alpha_{xy} \alpha_{xy} \alpha_{yy} T_{yyyy} +\] \[+ \alpha_{yx} \alpha_{xy} \alpha_{yx} \alpha_{xy} T_{xyxy} + \alpha_{yy} \alpha_{xx} \alpha_{yy} \alpha_{xx} T_{yxyx} + \alpha_{yy} \alpha_{xx} \alpha_{yx} \alpha_{xy} T_{yxxy} + \alpha_{yx} \alpha_{xy} \alpha_{yy} \alpha_{xx} T_{xyyx}\] \[T_{xyxy}' = \alpha_{xx} \alpha_{yx} \alpha_{xx} \alpha_{yx} T_{xxxx} + \alpha_{xx} \alpha_{yx} \alpha_{xy} \alpha_{yy} T_{xxyy} + \alpha_{xy} \alpha_{yy} \alpha_{xx} \alpha_{yx} T_{yyxx} + \alpha_{xy} \alpha_{yy} \alpha_{xy} \alpha_{yy} T_{yyyy} +\] \[+ \alpha_{xx} \alpha_{yy} \alpha_{xx} \alpha_{yy} T_{xyxy} + \alpha_{xy} \alpha_{yx} \alpha_{xy} \alpha_{yx} T_{yxyx} + \alpha_{xy} \alpha_{yx} \alpha_{xx} \alpha_{yy} T_{yxxy} + \alpha_{xx} \alpha_{yy} \alpha_{xy} \alpha_{yx} T_{xyyx}\]

Откуда следует:

\[\begin{aligned} & T_1 = \frac{T_4 + T_1 - T_2 - T_3}{2} \\ & T_2 = \frac{T_4 + T_2 - T_1 - T_3}{2} \\ & T_3 = \frac{T_4 + T_3 - T_1 - T_2}{2} \\ & T_4 = \frac{T_4 + T_1 + T_2 + T_3}{2} \\ \end{aligned}\]

В результате получаем:

\[T_4 = T_1 + T_2 + T_3\]

И для тензора четвёртого ранга получаем выражение:

\[T_{ijkl} = T_1 \delta_{ij} \delta_{kl} + T_2 \delta_{ik} \delta_{jl} + T_3 \delta_{il} \delta_{jk}\]

Выполним поворот общего вида для данного тензора:

\[T_{ijkl}' = \alpha_{ip} \alpha_{jr} \alpha_{ks} \alpha_{lt} T_{prst} = \alpha_{ip} \alpha_{jr} \alpha_{ks} \alpha_{lt} [T_1 \delta_{pr} \delta_{st} + T_2 \delta_{ps} \delta_{rt} + T_3 \delta_{pt} \delta_{rs}] =\] \[= T_1 \alpha_{ip} \alpha_{jp} \alpha_{ks} \alpha_{ls} + T_2 \alpha_{ip} \alpha_{jr} \alpha_{kp} \alpha_{lr} + T_3 \alpha_{ip} \alpha_{jr} \alpha_{kr} \alpha_{lp} =\] \[= T_1 \delta_{ij} \delta_{kl} + T_2 \delta_{ik} \delta_{jl} + T_3 \delta_{il} \delta_{jk}\]

Таким образом мы получили, что тензор 4 ранга, который не меняется при поворотах, имеет более сложный вид, чем тот, который представлен в задаче.