Задача 32. Пусть $\vec{n}$ - единичный вектор, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и произведений: $\overline{n_i}$, $\overline{n_i n_k}$, $\overline{n_i n_k n_l}$, $\overline{n_i n_k n_l n_m}$, пользуясь трансформационным свойством искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих интегралов.

Решение.

Отметим, что перед нами тензоры. Так как направления равновероятны, то эти тензоры не меняются при поворотах системы координат. Воспользуемся результатами задачи 31. Из неё следует, что:

\[\begin{aligned} & \overline{n_i} = 0 \\ & \overline{n_i n_k} = \lambda_1 \delta_{ik} \\ & \overline{n_i n_k n_l} = \lambda_2 \epsilon_{ikl} \\ & \overline{n_i n_k n_l n_m} = T_1 \delta_{ij} \delta_{kl} + T_2 \delta_{ik} \delta_{jl} + T_3 \delta_{il} \delta_{jk} \\ \end{aligned}\]

Из свойств перестановочной симметрии индексов вытекает, что:

\[\begin{aligned} & \overline{n_i n_k} = \lambda_1 \delta_{ik} \\ & \overline{n_i n_k n_l} = 0 \\ & \overline{n_i n_k n_l n_m} = \lambda_3( \delta_{ij} \delta_{kl} + \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} ) \\ \end{aligned}\]

Дальнейшее просто:

\[\lambda_1 = \overline{n_z^2} = \frac{1}{4\pi} \int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^{2\pi} \cos^2 \theta \sin \theta d\alpha d\theta = \frac{1}{2} \int\limits_0^{\pi} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta = - \left.\frac{1}{2} \frac{\cos^3 \theta}{3} \right|_0^\pi = \frac{1}{3}\] \[\lambda_3 = \overline{n_z^2 n_x^2} = \frac{1}{3} \overline{n_z^4} = \frac{1}{12\pi} \int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^{2\pi} \cos^4 \theta \sin \theta d\alpha d\theta = \frac{1}{6} \int\limits_0^{\pi} \cos^4 \theta \sin \theta d\theta = - \left.\frac{1}{6} \frac{\cos^5 \theta}{5} \right|_0^\pi = \frac{1}{15}\]