Задача 33. Найти усреднённые по всем направлениям значения следующих выражений: $\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n})^2}$,$\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n})(\vec{b}\cdot\vec{n})}$, $\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n}) \vec{n}}$ $\overline{(\vec{a}\times\vec{n})^2}$, $\overline{(\vec{a}\times\vec{n})\cdot(\vec{b}\times\vec{n})}$, $\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n})(\vec{b}\cdot\vec{n})(\vec{c}\cdot\vec{n})(\vec{d}\cdot\vec{n})}$, если $\vec{n}$ - единичный вектор, все направления которого равновероятны, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ - постоянные векторы.

Решение.

Применим результаты предыдущей задачи.

\[\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n})^2} = \frac{1}{3} a_i a_j \delta_{ij} = \frac{a^2}{3}\] \[\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n})(\vec{b}\cdot\vec{n})} = \frac{1}{3} a_i b_j \delta_{ij} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{3}\] \[\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n}) \vec{n}} = \frac{1}{3} a_i \delta_{ij} = \frac{\vec{a}}{3}\] \[\overline{(\vec{a}\times\vec{n})^2} = \frac{1}{3} \epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} a_j a_l \delta_{km} = \frac{1}{3} (\delta_{jl} \delta_{km} - \delta_{jm} \delta_{kl}) a_j a_l \delta_{km} = \frac{2}{3} \delta_{jl} a_j a_l = \frac{2 a^2}{3}\] \[\overline{(\vec{a}\times\vec{n})\cdot(\vec{b}\times\vec{n})} = \frac{2}{3} \vec{a} \cdot \vec{b}\] \[\overline{(\vec{a}\cdot\vec{n})(\vec{b}\cdot\vec{n})(\vec{c}\cdot\vec{n})(\vec{d}\cdot\vec{n})} = \frac{1}{15} a_i b_j c_k d_l ( \delta_{ij} \delta_{kl} + \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk}) =\] \[= \frac{1}{15} ( (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{c} \cdot \vec{d}) + (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) + (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c}))\]