Задача 34. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов →n, →n′ и псевдовектора →l.

Решение.

Инварианты не меняются при поворотах и при инверсиях. В их качестве выступают скаляры, которые можно построить из данных векторов. Скаляры - свёртки или скалярные произведения и их квадраты, а также смешанное произведение, построим всевозможные скалярные и смешанные произведения из предложенных векторов: →n2, →n′2, →l2, →n⋅→n′, (→n×→n′)⋅→l, →n′⋅→l, →n⋅→l, (→n×→n′)2. Из них →n′⋅→l, →n⋅→l - псевдоскаляры. А

(→n×→n′)2=n2n′2−(→n⋅→n′)2

То есть выражается через первые 3 инварианта. Чтобы сделать псевдоскаляры скалярами, их можно возвести в квадрат и перемножить между собой. Окончательно, инварианты:

→n2,→n′2,→l2,→n⋅→n′,(→n×→n′)⋅→l,(→n′⋅→l)2,(→n⋅→l)2,(→n′⋅→l)(→n⋅→l)