Задача 34. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов $\vec{n}$, $\vec{n}’$ и псевдовектора $\vec{l}$.

Решение.

Инварианты не меняются при поворотах и при инверсиях. В их качестве выступают скаляры, которые можно построить из данных векторов. Скаляры - свёртки или скалярные произведения и их квадраты, а также смешанное произведение, построим всевозможные скалярные и смешанные произведения из предложенных векторов: $\vec{n}^2$, $\vec{n}’^2$, $\vec{l}^2$, $\vec{n}\cdot\vec{n}’$, $(\vec{n}\times\vec{n’})\cdot\vec{l}$, $\vec{n}’\cdot\vec{l}$, $\vec{n}\cdot\vec{l}$, $(\vec{n}\times\vec{n}’)^2$. Из них $\vec{n}’\cdot\vec{l}$, $\vec{n}\cdot\vec{l}$ - псевдоскаляры. А

\[(\vec{n}\times\vec{n}')^2 = n^2 n'^2 - (\vec{n}\cdot\vec{n}')^2\]

То есть выражается через первые 3 инварианта. Чтобы сделать псевдоскаляры скалярами, их можно возвести в квадрат и перемножить между собой. Окончательно, инварианты:

\[\vec{n}^2, \vec{n}'^2, \vec{l}^2, \vec{n}\cdot\vec{n}', (\vec{n}\times\vec{n'})\cdot\vec{l}, (\vec{n}'\cdot\vec{l})^2, (\vec{n}\cdot\vec{l})^2, (\vec{n}'\cdot\vec{l})(\vec{n}\cdot\vec{l})\]