Задача 36. Записать циклические компоненты (см. задачу 10) градиента в сферических координатах.

Решение.

Компоненты градиента в сферических координатах:

\[\nabla = \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \vec{e}_\alpha \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \alpha}\]

Орты сферических координат:

\[\begin{aligned} & \vec{e}_r = \vec{e}_x \sin \theta \cos \alpha + \vec{e}_y \sin \theta \sin \alpha + \vec{e}_z \cos \theta \\ & \vec{e}_\theta = \vec{e}_x \cos \theta \cos \alpha + \vec{e}_y \cos \theta \sin \alpha - \vec{e}_z \sin \theta \\ & \vec{e}_\alpha = - \vec{e}_x \sin \alpha + \vec{e}_y \cos\alpha \end{aligned}\]

Циклические компоненты:

\[\nabla_{\pm 1} = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} (\nabla_x \pm i \nabla_y) = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( e^{\pm i \alpha} \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + e^{\pm i \alpha} \frac{\cos \theta }{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \pm i e^{\pm i \alpha} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \alpha}\right) =\] \[= \mp \frac{e^{\pm i \alpha} }{\sqrt{2}} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta }{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \pm i \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \alpha}\right)\] \[\nabla_0 = \nabla_z = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\]