Задача 38. Выполняя все вычисления в сферических или в цилиндрических координатах, найти $\mathrm{rot\,} (\vec{\omega} \times \vec{r})$, где $\vec{\omega}$ - постоянный вектор, направленный вдоль оси $z$.

Решение.

В сферических координатах:

\[\vec{\omega} = \omega (\vec{e}_r \cos \theta - \vec{e}_\theta \sin \theta)\] \[\vec{r} = r \vec{e}_r\] \[\vec{\omega} \times \vec{r} = \omega r \sin \theta \vec{e}_\alpha\] \[\mathrm{rot\,} (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \vec{e}_r & \dfrac{1}{r \sin \theta} \vec{e}_\theta & \dfrac{1}{r} \vec{e}_\alpha \\ \dfrac{\partial}{\partial r} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \\ 0 & 0 & r^2 \omega \sin^2 \theta \end{vmatrix} = 2 \omega \cos \theta \vec{e}_r - 2 \omega \sin \theta \vec{e}_\theta = 2 \vec{\omega}\]

В цилиндрических координатах:

\[\vec{\omega} = \omega \vec{e}_z\] \[\vec{r} = \rho \vec{e}_\rho + z \vec{e}_z\] \[\vec{\omega} \times \vec{r} = \omega \rho \vec{e}_\alpha\] \[\mathrm{rot\,} (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{\rho}\vec{e}_\rho & \vec{e}_\alpha & \dfrac{1}{\rho}\vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \alpha} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho^2 \omega & 0 \end{vmatrix} = 2 \omega \vec{e}_z = 2 \vec{\omega}\]