Задача 39. Доказать тождества:

а) $\mathrm{\,grad \,} (\varphi \psi) = \varphi \mathrm{\,grad \,} \psi + \psi \mathrm{\,grad \,}\varphi$

б) $\mathrm{\,div \,} (\varphi \vec{A}) = \varphi \mathrm{\,div \,} \vec{A} + \vec{A}\cdot \mathrm{\,grad \,}\varphi$

в) $\mathrm{\,rot \,} (\varphi \vec{A}) = \varphi \mathrm{\,rot \,} \vec{A} - \vec{A}\times\mathrm{\,grad \,}\varphi$

г) $\mathrm{\,div \,} (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B}\cdot \mathrm{\,rot \,} \vec{A} - \vec{A}\cdot \mathrm{\,rot \,} \vec{B}$

д) $\mathrm{\,rot \,} (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \mathrm{\,div \,} \vec{B} - \vec{B} \mathrm{\,div \,} \vec{A} + (\vec{B}\cdot \nabla)\vec{A} -(\vec{A}\cdot \nabla)\vec{B}$

е) $\mathrm{\,grad \,} (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{B} + \vec{B} \times \mathrm{\,rot \,} \vec{A} + (\vec{B}\cdot \nabla)\vec{A} +(\vec{A}\cdot \nabla)\vec{B}$

Решение.

Обозначаем в дальнейшем оператор $\nabla_u$ оператор $\nabla$ действующий на $u$:

а)

\[\mathrm{\,grad \,} (\varphi \psi) = \nabla(\varphi \psi) = \nabla_\varphi(\varphi \psi) + \nabla_\psi(\varphi \psi) =\] \[= \psi \nabla \varphi + \varphi \nabla \psi =\varphi \mathrm{\,grad \,} \psi + \psi \mathrm{\,grad \,}\varphi\]

б)

\[\mathrm{\,div \,} (\varphi \vec{A}) = \nabla \cdot (\varphi \vec{A}) = \nabla_\varphi \cdot (\varphi \vec{A}) + \nabla_A \cdot (\varphi \vec{A}) =\] \[= \vec{A} \cdot \nabla\varphi + \varphi (\nabla\cdot\vec{A}) = \varphi \mathrm{\,div \,} \vec{A} + \vec{A}\cdot \mathrm{\,grad \,}\varphi\]

в)

\[\mathrm{\,rot \,} (\varphi \vec{A}) = \nabla \times (\varphi \vec{A}) =\] \[= \nabla_\varphi \times (\varphi \vec{A}) + \nabla_A \times (\varphi \vec{A}) =\varphi \mathrm{\,rot \,} \vec{A} - \vec{A}\times\mathrm{\,grad \,}\varphi\]

г)

\[\mathrm{\,div \,} (\vec{A} \times \vec{B}) = \nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \nabla_A \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) + \nabla_B \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) =\] \[= \vec{B} \cdot (\nabla_A \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla_B \times \vec{B}) = \vec{B}\cdot \mathrm{\,rot \,} \vec{A} - \vec{A}\cdot \mathrm{\,rot \,} \vec{B}\]

д)

\[\mathrm{\,rot \,} (\vec{A} \times \vec{B}) = (\nabla\times[\vec{A} \times \vec{B}]) = (\nabla_A\times[\vec{A} \times \vec{B}]) + (\nabla_B\times[\vec{A} \times \vec{B}]) =\] \[= (\vec{B}\cdot\nabla_A) \vec{A} - \vec{B} (\nabla_A\cdot\vec{A}) + \vec{A} (\nabla_B\cdot\vec{B}) - (\vec{A} \cdot \nabla_B) \vec{B}\] \[= \vec{A} \mathrm{\,div \,} \vec{B} - \vec{B} \mathrm{\,div \,} \vec{A} + (\vec{B}\cdot \nabla)\vec{A} -(\vec{A}\cdot \nabla)\vec{B}\]

е) А здесь скука смертная (:-)). Рассмотрим выражение:

\[\vec{A}\times\mathrm{\,rot\,}\vec{B} = \vec{A}\times[\nabla\times\vec{B}] = \vec{A}\times[\nabla_B\times\vec{B}] =\] \[= \nabla_B (\vec{A}\cdot\vec{B}) - (\vec{A}\cdot\nabla_B)\vec{B} = \nabla_B (\vec{A}\cdot\vec{B}) - (\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}\]

Меняем $A$ и $B$ местами:

\[\vec{B}\times\mathrm{\,rot\,}\vec{A} = \nabla_A (\vec{B}\cdot\vec{A}) - (\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}\]

И учитываем:

\[\mathrm{\,grad \,} (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \nabla_A (\vec{A} \cdot \vec{B}) + \nabla_B (\vec{A} \cdot \vec{B})\]

Подставляем выражения для $\nabla_A (\vec{A} \cdot \vec{B})$, $\nabla_B (\vec{A} \cdot \vec{B})$, получаем нужное равенство.