Задача 41. Вычислить $\mathrm{\,grad\,} \varphi(r)$; $\mathrm{\,div\,} \varphi(r) \vec{r}$; $\mathrm{\,rot\,} \varphi(r)\vec{r}$; $(\vec{l}\cdot\nabla) \varphi(r) \vec{r}$

Решение.

Сначала вычислим $\nabla r$:

\[\nabla r = \frac{x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z}{r} = \frac{\vec{r}}{r}\]

Теперь вычисляем всё остальное:

\[\mathrm{\,grad\,} \varphi(r) = \nabla \varphi = \varphi'\nabla r = \varphi' \frac{\vec{r}}{r}\] \[\mathrm{\,div\,} \varphi(r) \vec{r} = \vec{r} \cdot \nabla \varphi + \varphi \nabla \cdot \vec{r} = 3 \varphi + \varphi' r\] \[\mathrm{\,rot\,} \varphi(r)\vec{r} = - \vec{r}\times\nabla \varphi + \varphi (\nabla \times \vec{r}) = 0\] \[(\vec{l}\cdot\nabla) (\varphi(r) \vec{r}) = \vec{r} (\vec{l}\cdot\nabla) \varphi + \varphi (\vec{l}\cdot\nabla) \vec{r} = \vec{l} \varphi + \frac{\vec{r}}{r} (\vec{l}\cdot\vec{r}) \varphi'\]