Задача 42. Найти функцию, удовлетворяющую условию $\mathrm{\,div\,} \varphi(r) \vec{r} = 0$.

Решение.

\[\mathrm{\,div\,} \varphi(r) \vec{r} = \vec{r} \cdot \nabla \varphi + \varphi \nabla \cdot \vec{r} = 3 \varphi + \varphi' r = 0\]

Следовательно:

\[\varphi' = - \frac{3}{r} \varphi\] \[\ln \varphi = - 3 \ln r + const = - 3 \ln r + \ln A\] \[\varphi = \frac{A}{r^3}\]