Задача 43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов $(\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{b}$, $(\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{r}$, $(\vec{a}\times\vec{r})$, $\varphi(r) (\vec{a}\times\vec{r})$, $\vec{r} \times (\vec{a}\times\vec{r})$, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ - постоянные векторы.

Решение.

Здесь нам пригодятся результаты предыдущих задач. Дивергенции:

\[\nabla \cdot [(\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{b}] = \vec{b} \cdot \nabla [(\vec{a}\cdot\vec{r})] + (\vec{a}\cdot\vec{r})[\nabla \cdot \vec{b}] = \vec{b}\cdot \vec{a}\] \[\nabla \cdot [(\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{r}] = \vec{r} \cdot \nabla [(\vec{a}\cdot\vec{r})] + (\vec{a}\cdot\vec{r})[\nabla \cdot \vec{r}] = 4 \vec{a} \cdot \vec{r}\] \[\nabla\cdot (\vec{a}\times\vec{r}) = - \vec{a}\cdot (\nabla\times\vec{r}) = 0\] \[\nabla\cdot (\varphi(r)\vec{a}\times\vec{r}) = - \vec{a}\cdot (\nabla\times\varphi(r)\vec{r}) = 0\] \[\nabla\cdot [\vec{r} \times (\vec{a}\times\vec{r})] = (\vec{a}\times\vec{r})\cdot \mathrm{\,rot\,} \vec{r} - \vec{r} \cdot \mathrm{\,rot\,} (\vec{a}\times\vec{r}) = - 2 \vec{r}\cdot\vec{a}\]

Вихри:

\[\nabla \times [(\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{b}] = - \vec{b} \times \nabla [(\vec{a}\cdot\vec{r})] + (\vec{a}\cdot\vec{r})[\nabla \times \vec{b}] = \vec{a}\times\vec{b}\] \[\nabla \times [(\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{r}] = - \vec{r} \times \nabla [(\vec{a}\cdot\vec{r})] + (\vec{a}\cdot\vec{r})[\nabla \times \vec{r}] = \vec{a} \times \vec{r}\] \[\nabla\times (\vec{a}\times\vec{r}) = 2 \vec{a}\] \[\nabla\times (\varphi(r)\vec{a}\times\vec{r}) = -(\vec{a}\times\vec{r}) \times \nabla \varphi + \varphi \nabla\times (\vec{a}\times\vec{r}) = 2 \vec{a} \varphi + \frac{\vec{r}\times(\vec{a} \times \vec{r})}{r} \varphi' =\] \[= \vec{a} [2 \varphi + r \varphi'] - \frac{\vec{r}(\vec{a} \cdot \vec{r})}{r} \varphi'\] \[\nabla\times [\vec{r} \times (\vec{a}\times\vec{r})] = \nabla\times (\vec{a} r^2 - \vec{r}(\vec{a}\cdot\vec{r})) = - \vec{a} \times 2 \vec{r} - \vec{a} \times \vec{r} = - 3 \vec{a} \times \vec{r}\]