Задача 45. Вычислить $\mathrm{\,grad\,} \dfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}$ и $\mathrm{\,rot\,} \dfrac{\vec{p}\times\vec{r}}{r^3}$, воспользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).

Решение.

Сонаправим ось $z$ с вектором $\vec{p}$. Тогда:

\[\vec{p} = p (\cos \theta \vec{e}_r - \sin \theta \vec{e}_\theta)\] \[\vec{p}\cdot\vec{r} = p r \cos \theta\] \[\vec{p}\times\vec{r} = pr \sin \theta \vec{e}_\alpha\] \[\mathrm{\,grad\,} \frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3} = \left(\vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \vec{e}_\alpha \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \alpha}\right) \frac{p \cos \theta}{r^2} = - p \frac{2 \cos \theta \vec{e}_r + \sin \theta \vec{e}_\theta}{r^3}\] \[\mathrm{\,rot\,} \frac{\vec{p}\times\vec{r}}{r^3} = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \vec{e}_r & \dfrac{1}{r \sin \theta} \vec{e}_\theta & \dfrac{1}{r} \vec{e}_\alpha \\ \dfrac{\partial}{\partial r} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} &\dfrac{\partial}{\partial \alpha} \\ 0 & 0 & p \dfrac{\sin^2 \theta}{r} \end{vmatrix} = p\frac{2 \cos \theta \vec{e}_r + \sin \theta \vec{e}_\theta}{r^3}\]

Очевидно, что векторные линии у этих полей - общие, но направлены в противоположные стороны:

\[\dfrac{r^3 dr}{2 p \cos \theta} = \dfrac{r^4 d\theta}{p \sin \theta} = \dfrac{d\alpha}{0}\]

Интегрируем:

\[\ln r = 2 \ln \sin \theta + const = 2 \ln \sin \theta + \ln r_0\] \[\begin{aligned} & r = r_0 \sin^2 \theta \\ & \alpha = const = \alpha_0 \end{aligned}\]

Линии лежат в плоскостях проходящих через вектор $\vec{p}$ имеют максимальное значение радиуса $r = r_0$ при угле $\pi/2$, замкнуты - выходят из 0 и заканчиваются нулём. В плоскости $xz$, $\alpha = 0$:

\[\sqrt{x^2 + z^2} = r_0 \frac{x^2}{r_0^2}\] \[x^2 - \frac{x^4}{r_0^2} + z^2 = 0\]

То есть перед нами кривая 4 порядка. Её уравнение можно привести к виду:

\[\left(\frac{x^2}{r_0} - \frac{r_0}{2}\right)^2 - z^2 = \frac{r_0^2}{4}\]