Задача 46. Доказать, что

\[(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{A} = - \vec{A}\times\mathrm{\,rot\,}\vec{A}\]

при $\vec{A}^2 = const$.

Решение.

Перед нами прямое следствие соотношения для градиента скалярного произведения:

\[\mathrm{\,grad\,} (\vec{A}\cdot\vec{B}) = \vec{A}\times\mathrm{\,rot\,}\vec{B} + \vec{B}\times\mathrm{\,rot\,} \vec{A} + (\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B} + (\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A}\]

при $\vec{A} = \vec{B}$:

\[\mathrm{\,grad\,} (\vec{A}^2) = 2 \vec{A}\times\mathrm{\,rot\,}\vec{A} + 2 (\vec{A}\cdot\nabla)\vec{A}\]

Откуда и вытекает требуемое соотношение.