Задача 47. Записать проекции вектора $\Delta \vec{A}$ на оси сферической системы координат.

Решение.

1 Способ.

Можно, конечно, воспользоваться соотношением:

\[\Delta \vec{A} = \nabla \mathrm{\,div\,} \vec{A} - \mathrm{\,rot\,} \mathrm{\,rot\,} \vec{A}\]

и получить необходимое соотношение, но в этом случае придётся в явном виде выделять $\Delta A_i$. В принципе метод достаточно быстрый, но недостаточно общий и не показывает причин, по которым появляются дополнительные слагаемые к $\Delta A_i$. По этой причине ниже приведён метод, который обосновывает причины их появления, хотя по громоздкости он не уступает данному методу.

2 Способ.

В данном случае

\[\Delta (A_i \vec{e}_i) = \vec{e}_i \Delta A_i + A_i \Delta \vec{e}_i + 2 (\nabla A_i \cdot \nabla) \vec{e}_i\] \[\begin{aligned} & \vec{e}_r = \sin \theta \cos \alpha \vec{e}_x + \sin \theta \sin \alpha \vec{e}_y + \cos \theta \vec{e}_z, \\ & \vec{e}_\theta = \cos \theta \cos \alpha \vec{e}_x + \cos \theta \sin \alpha \vec{e}_y - \sin \theta \vec{e}_z, \\ & \vec{e}_\alpha = - \sin \alpha \vec{e}_x + \cos \alpha \vec{e}_y. \end{aligned}\] \[\Delta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2}\] \[\begin{aligned} & \Delta \vec{e}_r = \left(\frac{\cos 2\theta - 1}{ r^2 \sin \theta}\right) \cos \alpha \vec{e}_x + \left(\frac{\cos 2\theta - 1}{ r^2 \sin \theta}\right) \sin \alpha \vec{e}_y - \frac{2 \cos \theta}{r^2} \vec{e}_z = - \frac{2}{r^2} \vec{e}_r, \\ & \Delta \vec{e}_\theta = - \left(\frac{2 \sin^2 \theta + 1}{ r^2 \sin^2 \theta}\right) \cos \theta \cos \alpha \vec{e}_x - \left(\frac{2 \sin^2 \theta + 1}{ r^2 \sin^2 \theta}\right) \cos \theta \sin \alpha \vec{e}_y - \frac{\cos 2\theta }{ r^2 \sin \theta} \vec{e}_z, \\ & \Delta \vec{e}_\alpha = - \frac{\vec{e}_\alpha}{r^2 \sin^2 \alpha}. \end{aligned}\] \[\vec{e}_r \cdot \Delta\vec{e}_\theta = - \left(\frac{2 \sin^2 \theta + 1}{ r^2 \sin^2 \theta}\right) \sin \theta \cos \theta \cos^2 \alpha - \left(\frac{2 \sin^2 \theta + 1}{ r^2 \sin^2 \theta}\right) \sin \theta \cos \theta \sin^2 \alpha - \frac{\cos 2\theta }{ r^2 \sin \theta} \cos \theta =\] \[=- \left(\frac{2 \sin^2 \theta + 1}{ r^2 \sin^2 \theta}\right) \sin \theta \cos \theta - \frac{\cos 2\theta }{ r^2 \sin \theta} \cos \theta = - \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin \theta}\] \[\vec{e}_\theta\cdot\Delta\vec{e}_\theta = - \left(\frac{2 \sin^2 \theta + 1}{ r^2 \sin^2 \theta}\right) \cos^2 \theta + \frac{\cos 2\theta }{ r^2} = - \frac{2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta+\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+2 \sin^4 \theta}{r^2 \sin^2 \theta} = - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\] \[\vec{e}_\alpha \cdot \Delta \vec{e}_\theta = 0\]

В результате

\[\begin{aligned} & \Delta \vec{e}_r = - \frac{2}{r^2} \vec{e}_r, \\ & \Delta \vec{e}_\theta = - \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin \theta} \vec{e}_r -\frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\vec{e}_\theta, \\ & \Delta \vec{e}_\alpha = - \frac{\vec{e}_\alpha}{r^2 \sin^2 \alpha}. \end{aligned}\] \[\begin{alignedat}{} & \dfrac{\partial \vec{e}_r}{\partial r} = 0, & \dfrac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial r} = 0, & \dfrac{\partial \vec{e}_\alpha}{\partial r} = 0, \\ & \dfrac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta} = \vec{e}_\theta, & \dfrac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial \theta} = -\vec{e}_r, & \dfrac{\partial \vec{e}_\alpha}{\partial \theta} = 0, \\ & \dfrac{\partial \vec{e}_r}{\partial \alpha} = \sin \theta \vec{e}_\alpha, & \dfrac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial \alpha} = \cos \theta\vec{e}_\alpha, & \dfrac{\partial \vec{e}_\alpha}{\partial \alpha} = - \sin \theta \vec{e}_r - \cos \theta \vec{e}_\theta, \end{alignedat}\]

Теперь можно собрать всё вместе:

\[(\Delta \vec{A})_r = \Delta A_r - \frac{2}{r^2} A_r - \frac{2}{r^2} \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} A_\theta - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial A_\alpha}{\partial \alpha}\] \[(\Delta \vec{A})_\theta = \Delta A_\theta - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} A_\theta + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial A_\alpha}{\partial \alpha}\] \[(\Delta \vec{A})_\alpha = \Delta A_\alpha - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} A_\alpha + \frac{2}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \alpha} + \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \alpha}\]

3 Способ.

Пусть $A_i’$ - компоненты вектора в декартовой системе координат, $\vec{e}_i’$ - орты декартовой системы координат, $x_i$ - декартовы координаты, тогда преобразование от декартовой системы координат к сферической с компонентами $A_i$ и ортами $\vec{e}_i$ запишется в виде:

\[\vec{e}_i = \frac{1}{H_i} \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_i}= \frac{1}{H_i} \frac{\partial x_j}{\partial q_i} \vec{e}'_j= \gamma_{ij} \vec{e}'_j\] \[\vec{e}_i = \gamma_{ij} \vec{e}_j', \qquad \vec{e}_i' = \gamma_{ji} \vec{e}_j\]

так как $\gamma_{ij}\gamma_{ik} = \delta_{jk}$.

\[\vec{A} = A_i \vec{e}_i = A_i' \vec{e}_i' = A_i \gamma_{ij} \vec{e}_j'\]

и, соответственно, в ортогональной системе координат:

\[A_i' = \gamma_{ji} A_j \qquad A_i = \gamma_{ij} A_j'\]

Теперь, собственно, запишем искомые компоненты:

\[\Delta \vec{A} = \Delta (A_i' \vec{e}_i') = \vec{e}_i' \Delta A_i' = \vec{e}_j \gamma_{ji} \Delta (\gamma_{si} A_s) = \vec{e}_j \gamma_{ji} A_s \Delta \gamma_{si} + 2 \vec{e}_j \gamma_{ji} (\nabla \gamma_{si} \cdot \nabla) A_s + \vec{e}_j \gamma_{ji}\gamma_{si} \Delta A_s =\] \[= \vec{e}_j \gamma_{ji} A_s \Delta \gamma_{si} + 2 \vec{e}_j \gamma_{ji} (\nabla \gamma_{si} \cdot \nabla) A_s + \vec{e}_j \Delta A_j\]

В принципе всё свелось к предыдущему случаю, только в прошлый раз преобразование координат было проделано неявно, когда искали разложения соответствующих векторов по базису сферической системы координат.

4 Способ. Общее решение, через коэффициенты Ламэ

Очевидно, что существует решение, основанное только на коэффициентах Ламэ. Это следует из соотношений:

\[\begin{aligned} & \mathrm{grad\,} = \vec{e}_i \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i} = \vec{e}_i \nabla_i, \\ & \mathrm{div\,} \vec{A} = \frac{1}{H_1 H_2 H_3} \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \frac{H_1 H_2 H_3}{H_i} A_i \right), \\ & \mathrm{rot\,} \vec{A} = \epsilon_{ijk} \vec{e}_i \frac{H_i}{H_1 H_2 H_3} \frac{\partial}{\partial q_j} \left(H_k A_k\right), \\ & \Delta = \frac{1}{H_1 H_2 H_3} \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \frac{H_1 H_2 H_3}{H_i^2} \frac{\partial}{\partial q_i} \right), \\ & \Delta \vec{A} = \mathrm{grad\,div} \vec{A} - \mathrm{rot\,rot}\vec{A} \end{aligned}\]

Введём:

\[H = H_1 H_2 H_3\]

И проделаем некоторые преобразования:

\[\mathrm{div\,} \vec{A} = \frac{\partial}{\partial q_i} \left(\frac{A_i}{H_i}\right)+ \frac{A_i}{H_i} \frac{\partial \ln H}{\partial q_i}= \frac{1}{H_i} \frac{\partial A_i}{\partial q_i} - \frac{A_i}{H_i^2} \frac{\partial H_i}{\partial q_i} + \frac{A_i}{H_i} \frac{\partial \ln H}{\partial q_i} =\] \[= \nabla_i A_i - A_i \nabla_i \ln H_i + A_i \nabla_i \ln H\] \[\mathrm{rot\,} \vec{A}= \epsilon_{ijk} \vec{e}_i \frac{H_i H_k}{H} \frac{\partial A_k}{\partial q_j}+ \epsilon_{ijk} \vec{e}_i \frac{H_i H_k A_k}{H} \frac{\partial \ln H_k}{\partial q_j}= \epsilon_{ijk} \vec{e}_i \frac{1}{H_j} \frac{\partial A_k}{\partial q_j}+ \epsilon_{ijk} \vec{e}_i \frac{A_k}{H_j} \frac{\partial \ln H_k}{\partial q_j}=\] \[= \epsilon_{ijk} \vec{e}_i (\nabla_j A_k + A_k \nabla_j \ln H_k)\] \[\Delta = \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right) + \frac{1}{H} \frac{\partial}{\partial q_i} \left(\frac{H}{H_i}\right) \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i}=\] \[= \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i} \left( \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i}\right) + \frac{1}{H_i^2} \frac{\partial \ln H}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial q_i} - \frac{1}{H_i^3} \frac{\partial H_i}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial q_i}= \nabla_i \nabla_i + \nabla_i (\ln H) \nabla_i - \nabla_i (\ln H_i) \nabla_i\] \[\mathrm{rot\,} \mathrm{rot\,} \vec{A} = \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm} \vec{e}_i [\nabla_j (\nabla_l A_m + A_m \nabla_l \ln H_m) + (\nabla_l A_m + A_m \nabla_l \ln H_m) \nabla_j \ln H_k]=\] \[= \sum_k (\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl})(1 - \delta_{ik})(1 - \delta_{jk}) \vec{e}_i \times\] \[\times[\nabla_j (\nabla_l A_m + A_m \nabla_l \ln H_m) + (\nabla_l A_m + A_m \nabla_l \ln H_m) \nabla_j \ln H_k] =\] \[= \vec{e}_i \Big[ \nabla_j (\nabla_i A_j + A_j \nabla_i \ln H_j) + (\nabla_i A_j + A_j \nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} +\] \[- \nabla_j (\nabla_j A_i + A_i \nabla_j \ln H_i) - (\nabla_j A_i + A_i \nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} \Big]\]

Тогда:

\[(\mathrm{grad\,div} \vec{A} - \mathrm{rot\,rot}\vec{A})_i - \Delta A_i =\] \[= {\color{red}{\nabla_i \nabla_j A_j}} + {\color{green}{\nabla_i (A_j \nabla_j \ln H)}} - \nabla_i (A_j \nabla_j \ln H_j) -\] \[- \nabla_j ({\color{red}{\nabla_i A_j}} + A_j \nabla_i \ln H_j) - ({\color{green}{\nabla_i A_j}} + A_j \nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} +\] \[+ \nabla_j ({\color{blue}{\nabla_j A_i}} + A_i \nabla_j \ln H_i) + ({\color{magenta}{\nabla_j A_i}} + A_i \nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} -\] \[- {\color{blue}{\nabla_j \nabla_j A_i}} -{\color{magenta}{\nabla_j (\ln H) \nabla_j A_i}} + \nabla_j (\ln H_j) \nabla_j A_i =\] \[= {\color{red}{(\nabla_i \nabla_j - \nabla_j \nabla_i) A_j}} + {\color{green}{A_j \nabla_i \nabla_j \ln H}} + {\color{green}{(\nabla_j \ln H_i H_j) \nabla_i A_j}} -\] \[- (\nabla_j \ln H_j) \nabla_i A_j - A_j \nabla_i \nabla_j \ln H_j - (\nabla_i \ln H_j)\nabla_j A_j -\] \[- A_j \nabla_j \nabla_i \ln H_j - A_j (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} + (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j A_i + A_i \nabla_j \nabla_j \ln H_i -\] \[- (\nabla_j \ln H_i H_j) \nabla_j A_i + A_i (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} + (\nabla_j \ln H_j) \nabla_j A_i =\] \[= {\color{red}{(\nabla_i \nabla_j - \nabla_j \nabla_i) A_j}} + {\color{green}{A_j \nabla_i \nabla_j \ln H}} + {\color{green}{(\nabla_j \ln H_i) \nabla_i A_j}} - A_j \nabla_i \nabla_j \ln H_j - (\nabla_i \ln H_j)\nabla_j A_j -\] \[- A_j \nabla_j \nabla_i \ln H_j - A_j (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} + A_i \nabla_j \nabla_j \ln H_i + A_i (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} = (*)\]

Раскроем произведения операторов:

\[\nabla_i \nabla_j = \frac{1}{H_i} \frac{\partial}{\partial q_i} \left(\frac{1}{H_j} \frac{\partial}{\partial q_j}\right) = \frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} - \frac{1}{H_i H_j^2} (\partial_iH_j) \partial_j = \frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} - (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j\] \[\nabla_j \nabla_i = \frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} - (\nabla_j \ln H_i) \nabla_i\]

Здесь введено обозначение:

\[\partial^2_{ij} = \frac{\partial^2}{\partial q_i \partial q_j}, \quad \partial_j = \frac{\partial}{\partial q_j}\]

Коммутатор:

\[\nabla_i \nabla_j - \nabla_j \nabla_i = (\nabla_j \ln H_i) \nabla_i - (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j\]

Подставляем и выделяем подобные слагаемые:

\[(*) = {\color{red}{(\nabla_j \ln H_i) \nabla_i A_j}} - {\color{green}{(\nabla_i \ln H_j) \nabla_j A_j}} + {\color{gray}{\frac{1}{H_i H_j} A_j \partial^2_{ij} \ln H}} - {\color{magenta}{A_j (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln H }} -\] \[+ {\color{red}{(\nabla_j \ln H_i) \nabla_i A_j}} - {\color{gray}{\frac{1}{H_i H_j} A_j \partial^2_{ij} \ln H_j}} + {\color{magenta}{A_j (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln H_j}} - {\color{green}{(\nabla_i \ln H_j)\nabla_j A_j}} -\] \[- {\color{gray}{A_j \frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} \ln H_j}} + {\color{magenta}{A_j (\nabla_j \ln H_i) \nabla_i \ln H_j}} - {\color{magenta}{A_j (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j}}} +\] \[+ {\color{gray}{A_i \frac{1}{H_j^2} \partial^2_{jj} \ln H_i}} - {\color{blue}{A_i (\nabla_j \ln H_j) \nabla_j \ln H_i}} + {\color{blue}{A_i (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j}}} =\] \[= 2 (\nabla_j \ln H_i) \nabla_i A_j -2(\nabla_i \ln H_j) \nabla_j A_j +\] \[+ A_j \left(\frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} \ln \frac{H}{H_j^2} - 2 (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j}\right) + A_i \left( \frac{1}{H_j^2} \partial^2_{jj} \ln H_i + (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j^2} \right)\]

Дальнейшие упрощения можно провести следующим образом:

\[\nabla_j \nabla_j \ln H_i = \frac{1}{H_j^2} \partial^2_{jj} \ln H_i - (\nabla_j \ln H_j) \nabla_j \ln H_i\] \[\nabla_i \nabla_j \ln \frac{H}{H_j} = \frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} \ln \frac{H}{H_j} - (\nabla_i \ln H_j ) \nabla_j \ln \frac{H}{H_j}\] \[\nabla_j \nabla_i \ln H_j = \frac{1}{H_i H_j} \partial^2_{ij} \ln H_j - (\nabla_j \ln H_i) \nabla_i \ln H_j\]

Теперь можно получить соотношение, обладающее некоторой симметрией:

\[(*) = 2 (\nabla_j \ln H_i) \nabla_i A_j -2(\nabla_i \ln H_j) \nabla_j A_j +\] \[+ A_j \left(\nabla_i \nabla_j \ln \frac{H}{H_j} - \nabla_j \nabla_i \ln H_j - (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j}\right) +\] \[+ A_i \left( \nabla_j \nabla_j \ln H_i + (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln \frac{H}{H_i H_j} \right)\]

Сама симметрия становится понятной, если рассмотреть отдельно второе и третье слагаемое при $j = i$:

\[\nabla_i \nabla_i \ln \frac{H}{H_i} - \nabla_i \nabla_i \ln H_i - (\nabla_i \ln H_i) \nabla_i \ln \frac{H}{H_i^2} + \nabla_i \nabla_i \ln H_i + (\nabla_i \ln H_i) \nabla_i \ln \frac{H}{H_i^2} =\] \[=\nabla_i \nabla_i \ln \frac{H}{H_i}\]

а затем, при $j \ne i \ne k$:

\[(*) = \sum\limits_{j \ne i} 2 \left[(\nabla_j \ln H_i) \nabla_i A_j -(\nabla_i \ln H_j) \nabla_j A_j\right] +\] \[+ \sum\limits_{j\ne i} A_j \left[\nabla_i \nabla_j \ln H_i H_k - \nabla_j \nabla_i \ln H_j - (\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln H_k\right] +\] \[+ A_i \left( \nabla_i \nabla_i \ln H_k H_j + \sum\limits_{j\ne i} [\nabla_j \nabla_j \ln H_i + (\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln H_k ] \right)\]

К сожалению, но дальнейшие упрощения не видны и не очевидны.

Рассмотрим, например, случай сферических координат.

Действительно, для сферических координат:

\[H_i \in \{1, r, r \sin \theta\}, \qquad H=r^2 \sin \theta\]

Методика, которая используется ниже основана на матричном представлении выражения выше. Из смешанных произведений выбираются поэлементно необходимые матрицы, затем всё подставляется в выражения:

\[\nabla_i \ln H_j = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \ln r & \ln (r \sin \theta) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[\nabla_i \nabla_j \ln H_i = \left[\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right]_{iji} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] \[\nabla_i \nabla_j \ln H_k = \left[\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right]_{ijk(\ne j ,\ne i)} = \begin{pmatrix}- & - \frac{\cos \theta}{r^2 \sin \theta} & 0 \\ 0 & - & 0 \\ 0 & 0 & - \end{pmatrix}\] \[(\nabla_i \ln H_j) \nabla_j \ln H_k = \left[\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right]_{ijjk(\ne j, \ne i)} = \begin{pmatrix}- & \frac{\cos \theta}{r^2 \sin \theta} & 0\\ 0 & - & 0\\ 0 & 0 & - \end{pmatrix}\] \[\nabla_i \nabla_i \ln H_k H_j = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2}{\partial r^2} \ln (r^2 \sin \theta) \\ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\ln (r \sin \theta)\right)\right] \\ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} \ln r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{2}{r^2} \\ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right] \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{2}{r^2} \\ \frac{1}{r^2} \left[-1 - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\right] \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}- \frac{2}{r^2} \\- \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\nabla_j \nabla_j \ln H_i = \left[\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial r} \\ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \\ \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \alpha} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right]_{jji} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\- \frac{1}{r^2} & 0 & 0 \\- \frac{1}{r^2} & - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} & 0 \end{pmatrix}\] \[(\nabla_j \ln H_i) \nabla_j \ln H_k = \left[\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & \frac{\cos \theta}{r \sin \theta}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right]_{jijk(\ne j, \ne i)} = \begin{pmatrix}- & 0 & 0\\ \frac{1}{r^2} & - & 0\\ \frac{1}{r^2} & 0 & - \end{pmatrix}\]

Откуда:

\[\begin{aligned} & (\Delta \vec{A})_r = \Delta A_r - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial A_\alpha}{\partial \alpha}- \frac{2}{r^2} A_r - \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin \theta} A_\theta \\ \end{aligned}\] \[(\Delta \vec{A})_\theta = \Delta A_\theta - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} A_\theta + \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial A_\alpha}{\partial \alpha}\] \[(\Delta \vec{A})_\alpha = \Delta A_\alpha - \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} A_\alpha + \frac{2}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \alpha} + \frac{2 \cos \theta}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \alpha}\]

5 Способ. Обобщенное выражение покомпонентно.

Проверим выражения выше покомпонентным вычислением. Будем исходить из выражений:

\[\mathrm{rot\,}\vec{A} = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{H_2 H_3} \vec{e}_1 & \dfrac{1}{H_1 H_3} \vec{e}_2 & \dfrac{1}{H_1 H_2} \vec{e}_3 \\ \dfrac{\partial}{\partial q_1} & \dfrac{\partial}{\partial q_2} & \dfrac{\partial}{\partial q_3} \\ H_1 A_1 & H_2 A_2 & H_3 A_3 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{H_2 H_3} \left[\dfrac{\partial (H_3 A_3)}{\partial q_2} - \dfrac{\partial (H_2 A_2)}{\partial q_3}\right] \\ \dfrac{1}{H_1 H_3} \left[\dfrac{\partial (H_1 A_1)}{\partial q_3} - \dfrac{\partial (H_3 A_3)}{\partial q_1}\right] \\ \dfrac{1}{H_1 H_2} \left[\dfrac{\partial (H_2 A_2)}{\partial q_1} - \dfrac{\partial (H_1 A_1)}{\partial q_2}\right] \\ \end{pmatrix}\] \[(\mathrm{rot\,} \mathrm{rot\,} \vec{A})_1 = \dfrac{1}{H_2 H_3} \left[ \dfrac{\partial}{\partial q_2} \left( \dfrac{H_3}{H_1 H_2} \left[\dfrac{\partial (H_2 A_2)}{\partial q_1} - \dfrac{\partial (H_1 A_1)}{\partial q_2}\right] \right) - \right.\] \[\left.- \dfrac{\partial}{\partial q_3} \left( \dfrac{H_2}{H_1 H_3} \left[\dfrac{\partial (H_1 A_1)}{\partial q_3} - \dfrac{\partial (H_3 A_3)}{\partial q_1}\right] \right) \right] =\] \[= \frac{1}{H_3} \nabla_2 \left[\frac{H_3}{H_2} \nabla_1 (H_2 A_2)\right]+ \frac{1}{H_2} \nabla_3 \left[\frac{H_2}{H_3} \nabla_1 (H_3 A_3)\right]-\] \[- \frac{1}{H_3} \nabla_2 \left[\frac{H_3}{H_1} \nabla_2 (H_1 A_1)\right]- \frac{1}{H_2} \nabla_3 \left[\frac{H_2}{H_1} \nabla_3 (H_1 A_1)\right]=\] \[= \frac{1}{H_3} \nabla_2 \left[H_3 \nabla_1 A_2 + H_3 A_2 \nabla_1 \ln H_2\right]+ \frac{1}{H_2} \nabla_3 \left[H_2 \nabla_1 A_3 + H_2 A_3 \nabla_1 \ln H_3\right] -\] \[- \frac{1}{H_3} \nabla_2 \left[H_3 \nabla_2 A_1 + H_3 A_1 \nabla_2 \ln H_1\right]- \frac{1}{H_2} \nabla_3 \left[H_2 \nabla_3 A_1 + H_2 A_1 \nabla_3 \ln H_1\right]=\] \[= \nabla_2\nabla_1 A_2 + \nabla_1 A_2 \nabla_2 \ln H_3 + A_2 \nabla_2 \ln H_3 \nabla_1 \ln H_2 + \nabla_2 A_2 \nabla_1 \ln H_2 + A_2 \nabla_2 \nabla_1 \ln H_2+\] \[+ \nabla_3 \nabla_1 A_3 + \nabla_1 A_3 \nabla_3 \ln H_2 + A_3 \nabla_3 \ln H_2 \nabla_1 \ln H_3 + \nabla_3 A_3 \nabla_1 \ln H_3 + A_3 \nabla_3 \nabla_1 \ln H_3 -\] \[- \nabla_2 \nabla_2 A_1 - \nabla_2 A_1 \nabla_2 \ln H_3 - A_1 \nabla_2 \ln H_3 \nabla_2 \ln H_1 - \nabla_2 A_1 \nabla_2 \ln H_1 -A_1 \nabla_2 \nabla_2 \ln H_1 -\] \[-\nabla_3 \nabla_3 A_1 - \nabla_3 A_1 \nabla_3 \ln H_2 - A_1 \nabla_3 \ln H_2 \nabla_3 \ln H_1 - \nabla_3 A_1 \nabla_3 \ln H_1 - A_1 \nabla_3 \nabla_3 \ln H_1\]

Далее выпишем нужную компоненту $\mathrm{grad\,div}$

\[(\mathrm{grad\,div\,} \vec{A})_1 = \nabla_1 \left[\frac{1}{H_1 H_2 H_3}\left(\frac{\partial}{\partial q_1}\left[H_2 H_3 A_1\right] + \frac{\partial}{\partial q_2}\left[H_1 H_3 A_2\right] + \frac{\partial}{\partial q_3}\left[H_1 H_2 A_3\right]\right)\right] =\] \[= \nabla_1 [\nabla_1 A_1 + A_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3] + \nabla_1 [\nabla_2 A_2 +A_2 \nabla_2 \ln H_1 H_3] + \nabla_1 [\nabla_3 A_3 + A_3 \nabla_3 \ln H_1 H_2]=\] \[= \nabla_1 \nabla_1 A_1 + \nabla_1 A_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3 + A_1 \nabla_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3 +\] \[+ \nabla_1 \nabla_2 A_2 + \nabla_1 A_2 \nabla_2 \ln H_1 H_3 + A_2 \nabla_1 \nabla_2 \ln H_1 H_3 +\] \[+ \nabla_1 \nabla_3 A_3 + \nabla_1 A_3 \nabla_3 \ln H_1 H_2 + A_3 \nabla_1 \nabla_3 \ln H_1 H_2\]

И, наконец,

\[\Delta A_1 = \frac{1}{H_1 H_2 H_3}\left(\frac{\partial}{\partial q_1}\left[H_2 H_3 \nabla_1 A_1\right] + \frac{\partial}{\partial q_2}\left[H_1 H_3 \nabla_2 A_1\right] + \frac{\partial}{\partial q_3}\left[H_1 H_2 \nabla_3 A_1\right]\right) =\] \[= \nabla_1 \nabla_1 A_1 + \nabla_1 A_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3 +\nabla_2\nabla_2 A_1 + \nabla_2 A_1 \nabla_2 \ln H_1 H_3 +\nabla_3 \nabla_3 A_1 + \nabla_3 A_1 \nabla_3 \ln H_1 H_2\] \[(\Delta \vec{A})_1 - \Delta A_1 = (\mathrm{grad\,div\,} \vec{A})_1 - (\mathrm{rot\,rot\,} \vec{A})_1 - \Delta A_1 =\] \[= \nabla_1 \nabla_1 A_1 + {\color{blue}{\nabla_1 A_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3}} +{\color{green}{A_1 \nabla_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3}} +\] \[+ {\color{magenta}{\nabla_1 \nabla_2 A_2}} + {\color{purple}{\nabla_1 A_2 \nabla_2 \ln H_1 H_3}} + {\color{orange}{A_2 \nabla_1 \nabla_2 \ln H_1 H_3}} +\] \[+ {\color{brown}{\nabla_1 \nabla_3 A_3}} + {\color{salmon}{\nabla_1 A_3 \nabla_3 \ln H_1 H_2}} + {\color{aquamarine}{A_3 \nabla_1 \nabla_3 \ln H_1 H_2}} -\] \[- {\color{magenta}{\nabla_2\nabla_1 A_2}} - {\color{purple}{\nabla_1 A_2 \nabla_2 \ln H_3 }}- {\color{orange}{A_2 \nabla_2 \ln H_3 \nabla_1 \ln H_2 }}- {\color{orchid}{\nabla_2 A_2 \nabla_1 \ln H_2 }} - {\color{orange}{A_2 \nabla_2 \nabla_1 \ln H_2}} -\] \[- {\color{brown}{\nabla_3 \nabla_1 A_3}} - {\color{salmon}{\nabla_1 A_3 \nabla_3 \ln H_2 }} - {\color{aquamarine}{A_3 \nabla_3 \ln H_2 \nabla_1 \ln H_3 }} - {\color{gray}{\nabla_3 A_3 \nabla_1 \ln H_3 }} - {\color{aquamarine}{A_3 \nabla_3 \nabla_1 \ln H_3 }} +\] \[+ \nabla_2 \nabla_2 A_1 + \nabla_2 A_1 \nabla_2 \ln H_3 + {\color{green}{A_1 \nabla_2 \ln H_3 \nabla_2 \ln H_1}} + \nabla_2 A_1 \nabla_2 \ln H_1 + {\color{green}{A_1 \nabla_2 \nabla_2 \ln H_1}} +\] \[+ \nabla_3 \nabla_3 A_1 + \nabla_3 A_1 \nabla_3 \ln H_2 + {\color{green}{A_1 \nabla_3 \ln H_2 \nabla_3 \ln H_1}}+ \nabla_3 A_1 \nabla_3 \ln H_1 + {\color{green}{A_1 \nabla_3 \nabla_3 \ln H_1 }} +\] \[- \nabla_1 \nabla_1 A_1 - {\color{blue}{\nabla_1 A_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3 }} -\nabla_2\nabla_2 A_1 - \nabla_2 A_1 \nabla_2 \ln H_1 H_3 - \nabla_3 \nabla_3 A_1 - \nabla_3 A_1 \nabla_3 \ln H_1 H_2 =\] \[= A_1 (\nabla_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3 + \nabla_2 \nabla_2 \ln H_1 + \nabla_3 \nabla_3 \ln H_1 + \nabla_2 \ln H_3 \nabla_2 \ln H_1 + \nabla_3 \ln H_2 \nabla_3 \ln H_1) +\] \[+ (\nabla_1 \nabla_2 - \nabla_2 \nabla_1) A_2 + \nabla_1 A_2 \nabla_2 \ln H_1 - \nabla_2 A_2 \nabla_1 \ln H_2 +\] \[+ A_2 (\nabla_1 \nabla_2 \ln H_1 H_3 -\nabla_2 \nabla_1 \ln H_2 - \nabla_2 \ln H_3 \nabla_1 \ln H_2 ) +\] \[+(\nabla_1 \nabla_3 - \nabla_3 \nabla_1) A_3 - \nabla_3 A_3 \nabla_1 \ln H_3 + \nabla_1 A_3 \nabla_3 \ln H_1 +\] \[+ A_3 (\nabla_1 \nabla_3 \ln H_1 H_2 - \nabla_3 \nabla_1 \ln H_3 - \nabla_3 \ln H_2 \nabla_1 \ln H_3) = (***)\] \[\nabla_1 \nabla_1 = - \frac{1}{H_1^2} \frac{\partial H_1}{\partial q_1} \frac{\partial}{\partial q_1} + \frac{1}{H_1^2} \frac{\partial^2}{\partial q_1^2} = - \nabla_1 \ln H_1 \nabla_1 + \frac{1}{H_1^2} \frac{\partial^2}{\partial q_1^2}\] \[\nabla_1 \nabla_2 - \nabla_2 \nabla_1 = - \nabla_1 \ln H_2 \nabla_2 + \nabla_2 \ln H_1 \nabla_1\] \[(***) = A_1 (\nabla_1 \nabla_1 \ln H_2 H_3 + \nabla_2 \nabla_2 \ln H_1 + \nabla_3 \nabla_3 \ln H_1 + \nabla_2 \ln H_3 \nabla_2 \ln H_1 + \nabla_3 \ln H_2 \nabla_3 \ln H_1) +\] \[+ 2 \nabla_1 A_2 \nabla_2 \ln H_1 - 2 \nabla_2 A_2 \nabla_1 \ln H_2 + 2\nabla_1 A_3 \nabla_3 \ln H_1 - 2 \nabla_3 A_3 \nabla_1 \ln H_3 +\] \[+ A_2 (\nabla_1 \nabla_2 \ln H_1 H_3 -\nabla_2 \nabla_1 \ln H_2 - \nabla_2 \ln H_3 \nabla_1 \ln H_2 ) +\] \[+ A_3 (\nabla_1 \nabla_3 \ln H_1 H_2 - \nabla_3 \nabla_1 \ln H_3 - \nabla_3 \ln H_2 \nabla_1 \ln H_3)\]

Примечание. Как следует из всех приведённых выкладок наиболее просто реализуются два метода 1, который здесь не показан, и 2. 3 лишь сводится ко второму, а общее выражение 4 и 5 метода применить на практике сложно.