Задача 49. Интеграл по объёму преобразовать в интеграл по поверхности:

\[\int (\mathrm{grad\,}\varphi\cdot\mathrm{\,rot\,A}) dV\]

Решение.

\[\int (\mathrm{grad\,}\varphi\cdot\mathrm{\,rot\,} \vec{A}) dV = \int [\mathrm{div\,}(\vec{A} \times \nabla \varphi ) + \vec{A}\cdot\mathrm{\,rot\,}\nabla\varphi] dV = \oint (\nabla \varphi \times \vec{A})\cdot d\vec{S} =\] \[= \int [\mathrm{\,div\,} (\varphi \mathrm{\,rot\,} \vec{A}) - \varphi \mathrm{\,div\,rot\,}\vec{A}] dV = \int \mathrm{\,div\,}(\varphi \mathrm{\,rot\,} \vec{A}) dV = \oint \varphi (\mathrm{\,rot\,} \vec{A}) \cdot d\vec{S}\]