Задача 5. Доказать, что $\partial a_i/\partial x_k$ есть тензор второго ранга.

Решение. Найдём его в штрихованной декартовой системе координат, учитывая, что координаты преобрразуются по закону:

\[x_i' = \alpha_{ik} x_k\] \[x_j = \alpha_{ij} x_i'\]

и $\alpha_{ik}$ от координат не зависит (преобразование происходит из декартовой системы в декартову):

\[\frac{\partial a_i'}{\partial x_k'} = \frac{\partial (\alpha_{is} a_s)}{\partial x_m} \frac{\partial x_m}{\partial x_k'} = \alpha_{is} \alpha_{km} \frac{\partial a_s}{\partial x_m}\]

Утверждение доказано.