Задача 50. Вычислить интегралы:

\[\oint \vec{r} (\vec{a}\cdot\vec{n}) dS, \oint (\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{n}dS,\]

где $\vec{a}$ - постоянный вектор, $\vec{n}$ - орт нормали к поверхности.

Решение.

Умножим на произвольный постоянный вектор $\vec{c}$:

\[\oint (\vec{c}\cdot\vec{r})(\vec{a} \cdot \vec{n}) dS = \oint (\vec{c}\cdot\vec{r})\vec{a} \cdot d\vec{S}= \int \mathrm{div\,} [(\vec{c}\cdot\vec{r})\vec{a}] dV = \int [a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z] dV = V (\vec{a}\cdot \vec{c})\] \[\oint (\vec{a}\cdot\vec{r})(\vec{n}\cdot \vec{c})dS = V (\vec{a}\cdot\vec{c})\]

В силу произвольности $\vec{c}$:

\[\oint \vec{r} (\vec{a}\cdot\vec{n}) dS = \oint (\vec{a}\cdot\vec{r})\vec{n}dS = V \vec{a}\]