Задача 51. Интегралы по замкнутой поверхности

\[\oint \vec{n} \varphi dS,\qquad \oint (\vec{n}\times\vec{a}) dS,\qquad \oint (\vec{n}\cdot\vec{b}) \vec{a} dS\]

($\vec{b}$ - постоянный вектор, $\vec{n}$ - орт нормали) преобразовать в интегралы по объёму, заключённому внутри поверхности.

Решение. Умножим каждый из интегралов на постоянный вектор $\vec{c}$

\[\vec{c} \cdot \oint\vec{n}\varphi dS=\oint \varphi \vec{c}\cdot d\vec{S} =\int \mathrm{div\,}(\varphi \vec{c}) dV = \vec{c} \cdot \int \nabla\varphi dV\] \[\vec{c}\cdot \oint (\vec{n}\times\vec{a}) dS = - \oint (\vec{c}\times\vec{a}) \cdot d \vec{S} = - \int \mathrm{div\,} (\vec{c}\times\vec{a}) dV = \int \vec{c}\cdot (\nabla\times\vec{a}) dV = \vec{c} \cdot \int \mathrm{rot\,} \vec{a} dV\] \[\vec{c} \cdot \oint (\vec{n}\cdot\vec{b}) \vec{a} dS = \oint (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}\cdot d\vec{S} = \int \mathrm{div\,}[\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})] dV = \int (\vec{b}\cdot\nabla)(\vec{a}\cdot\vec{c}) dV = \vec{c} \cdot \int (\vec{b}\cdot\nabla) \vec{a} dV\]

Отсюда:

\[\begin{aligned} & \oint \vec{n}\varphi dS = \int \nabla\varphi dV, \\ & \oint (\vec{n}\times\vec{a}) dS = \int \mathrm{rot\,} \vec{a} dV, \\ & \oint (\vec{n}\cdot\vec{b})\vec{a} dS = \int (\vec{b}\cdot\nabla)\vec{a} dV. \end{aligned}\]