Задача 52. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче, вывести закон Архимеда путём суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.

Решение. Элементарная сила, действующая на тело:

\[d\vec{F} = - p\vec{n} dS\] \[\vec{F} = - \oint p \vec{n} dS = - \oint \rho_f (\vec{g}\cdot \vec{r}) \vec{n} dS = - \int \rho_f \nabla (\vec{g}\cdot\vec{r}) dV = - \rho_f V \vec{g}\]