Задача 53. Пусть $f(\vec{a}, \vec{r})$ удовлетворяет условию:

\[f(c_1 \vec{a}_1 + c_2 \vec{a}_2, \vec{r}) = c_1 f(\vec{a}_1, \vec{r}) + c_2 f(\vec{a}_2, \vec{r}),\]

где $c_1, c_2$ - произвольные постоянные, и является дифференцируемой функцией $\vec{r}$. Доказать, что если $V$ - произвольный объём, $S$ - ограничивающая его поверхность и $\vec{n}$ - орт внешней нормали к этой поверхности, то имеет место обобщённая теорема Остроградского-Гаусса:

\[\oint f(\vec{n}, \vec{r}) dS = \int f(\nabla, \vec{r}) dV.\]

Оператор $\nabla$ в подынтегральной функции $f(\nabla, \vec{r})$ действует на $\vec{r}$ и стоит левее всех переменных.

Решение.

\[\oint f(\vec{n}, \vec{r}) dS = \oint f(n_x \vec{e}_x + n_y \vec{e}_y +n_z \vec{e}_z, \vec{r}) dS = \oint [ n_x f(\vec{e}_x, \vec{r}) + \ldots ] dS = \int \left[ \frac{\partial}{\partial x} f(\vec{e}_x, \vec{r}) + \right] =\] \[= \int f\left(\frac{\partial}{\partial x} \vec{e}_x + \ldots, \vec{r}\right)dV = \int f(\nabla, \vec{r}) dV\]