Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970

Задача 54. Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщённой теоремы Остроградского-Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.

Решение.

Заменяем $\vec{n}$ на оператор $\nabla$:

$$\begin{aligned} & \oint \vec{r}(\vec{a}\cdot\vec{n}) dS = \int (\vec{a}\cdot\nabla) \vec{r} dV = \vec{a} \int dV = \vec{a} V, \\ & \oint (\vec{a}\cdot\vec{r}) \vec{n} dS = \int \nabla(\vec{a}\cdot\vec{r}) dV = \vec{a} V, \\ & \oint \vec{n} \varphi dV = \int \nabla \varphi dV, \\ & \oint (\vec{n}\times\vec{a}) dS = \int \mathrm{rot\,} \vec{a} dV, \\ & \oint (\vec{n}\cdot\vec{b}) \vec{a} dS = \int (\vec{b}\cdot\nabla) \vec{a} dV. \end{aligned}$$