Задача 55. Интеграл по замкнутому контуру

\[\oint \varphi d\vec{l}\]

преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур.

Решение. Умножим на произвольный постоянный вектор $\vec{c}$:

\[\vec{c} \cdot \oint \varphi d\vec{l} = \oint \varphi \vec{c} \cdot d\vec{l} = \int \mathrm{rot\,} (\varphi \vec{c})\cdot d\vec{S} = \int (\nabla \varphi\times\vec{c})\cdot d\vec{S} = - \vec{c}\cdot\int \nabla\varphi \times d\vec{S}\]

Так как вектор $\vec{c}$ - произвольный:

\[\oint \varphi d\vec{l} = - \int \nabla\varphi \times d\vec{S}\]