Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970

Задача 56. Интеграл по замкнутому контуру

$$\oint \varphi df,$$

взятый по некоторому замкнутому контуру преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур ($u, f$ - скалярные функции координат).

Решение.

$$\oint \varphi df = \oint \varphi \nabla f\cdot d\vec{l} = \int \mathrm{rot\,}(\varphi\nabla f) \cdot d\vec{S} = \int (\nabla\varphi \times\nabla f) \cdot d\vec{S}$$