Задача 57. Доказать тождество

\[\int (\vec{A}\cdot\mathrm{rot\,rot\,}\vec{B}-\vec{B}\cdot\mathrm{rot\,rot}\vec{A}) dV = \oint [(\vec{B}\times\mathrm{rot\,}\vec{A}) - (\vec{A}\times\mathrm{rot\,}\vec{B})] \cdot d\vec{S}.\]

Решение.

\[\int (\vec{A}\cdot\mathrm{rot\,rot\,}\vec{B}-\vec{B}\cdot\mathrm{rot\,rot}\vec{A}) dV =\] \[= \int (\vec{A}\cdot\mathrm{rot\,rot\,}\vec{B}- \mathrm{rot\,}\vec{A}\cdot\mathrm{rot\,}\vec{B} + \mathrm{rot\,}\vec{A}\cdot\mathrm{rot\,}\vec{B} - \vec{B}\cdot\mathrm{rot\,rot}\vec{A}) dV =\] \[= \int [- \mathrm{div\,}(\vec{A}\times\mathrm{rot\,}\vec{B}) + \mathrm{div\,}(\vec{B}\times\mathrm{rot\,}\vec{A})] dV =\] \[=\oint [(\vec{B}\times\mathrm{rot\,}\vec{A}) - (\vec{A}\times\mathrm{rot\,}\vec{B})] \cdot d\vec{S}.\]