Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970

Задача 58. Внутри объёма $V$ вектор $\vec{A}$ удовлетворяет условию $\mathrm{div\,}\vec{A} =0$, а на границе объёма $A_n = 0$. Доказать, что

\[\int\limits_V \vec{A} dV = 0\]

Решение.

\[\int\limits_V \vec{A} dV = \int\limits_V (\vec{A}\cdot\nabla)\vec{r} dV = \oint (\vec{A}\cdot\vec{n})\vec{r} dS = \oint A_n \vec{r} dS = 0\]