Батыгин, Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, 1970

Задача 59. Доказать, что

$$\mathrm{div\,}_{\vec{R}} \int \frac{\vec{A}(\vec{r})}{|\vec{R} - \vec{r}|} dV = 0,$$

где $\vec{A}(\vec{r})$ - вектор, определённый в предыдущей задаче.

Решение.

$$\nabla_\vec{R} \frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|} = - \nabla \frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|}$$ $$\mathrm{div\,}_{\vec{R}} \int \frac{\vec{A}(\vec{r})}{|\vec{R} - \vec{r}|} dV = \int \vec{A}(\vec{r})\cdot\nabla_\vec{R}\frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|} dV = - \int \vec{A}(\vec{r})\cdot\nabla\frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|} dV =$$ $$=-\int \left[\nabla\cdot\frac{\vec{A}(\vec{r})}{|\vec{R} - \vec{r}|} - \frac{1}{|\vec{R} - \vec{r}|} \mathrm{div\,}\vec{A}\right] dV = - \oint \frac{\vec{n}\cdot\vec{A}(\vec{r})}{|\vec{R} - \vec{r}|} dV =$$ $$= - \oint \frac{A_n(\vec{r})}{|\vec{R} - \vec{r}|} dV = 0$$