Задача 6. Доказать, что если $T_{ik}$ - тензор 2 ранга и $P_{ik}$ - псевдотензор 2 ранга, то $T_{ik}P_{ik}$ - псевдоскаляр.

Решение. Псевдоскаляр при инверсии умножается на $-1$, как и псевдотензор второго ранга, тензор второго ранга умножается на $1$. Очевидно, что произведение будет псевдоскаляром, так как при инверсии мы видим, что сумма умножится на $-1$. Осталось показать неизменность псевдоскаляра при поворотах:

\[P_{ik}' T_{ik}' = \alpha_{il} \alpha_{km} P_{lm} \alpha_{is} \alpha_{kp} T_{sp} = \delta_{ls} \delta_{mp} P_{lm} T_{sp} = P_{lm} T_{lm}\]

Утверждение доказано.