Задача 61. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от $r$; б) от $\theta$; в) от $\alpha$ (сферические координаты).

Решение.

\[\Delta u(r) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d u}{d r}\right) = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dr} = \frac{A}{r^2}, \quad u = B - \frac{A}{r}\] \[\Delta u (\theta) = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right) = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{d\theta} = \frac{A}{\sin \theta}, \quad u = A \ln \left|\mathrm{tg} \frac{\theta}{2}\right| + B\] \[\Delta u (\alpha) = \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha^2} = 0, \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{d\alpha} = A, \quad u = A\alpha + B\]